一、集合的概念

集合是由一些称作集合元素的对象组成的。
集合通常用大括号表示，例如，{1,2,3,4}
集合里的元素是唯一的，比如不允许出现两个4。
集合里元素的排列顺序无关紧要
集合中元素的个数称作基数，也叫势。
具有相同基数的集合称作等势的集合。
有些集合的势是有限的，有些集合的势是无限的。

二、无限集合的等势

正整数集合{1,2,3,...}和正偶数集合{2,4,6,...}的势是相等的！
即集合的元素个数是一样多的！
我们可以通过与自然数做一一对应，来数无限集合里的正偶数：

对于每一个正整数，都有一个偶数与之对应。对于任何一个偶数，都有一个正整数与之对应。这么一看，这两个集合现在似乎变得一样大了，也就是说它们是等势的。
这是怎么回事？（事实上，无限集合的这种独有特征是伽利略在1683年提出的，因此有时也称作伽利略悖论。）

三、康托尔

格奥尔格·康托尔（1845—1918）伟大的数学家，出生于圣彼得堡，以建立集合论而闻名。
如果集合中的元素能与自然数一一对应，那么我们称这个集合为可数的。如果我们能将集合中的元素按照某种方式排序或列举出来，那么这个集合就是可数的，因为任何一个列表都是可以标号的，也就是将各项与自然数1，2，3，...一一配对。所有有限集合当然都是可数的。真正的难题来自于无限集合。

在1874年发表的一篇论文“关于实代数数集合的性质”中，康托尔指出整数、有理数甚至代数数都是可数的。

正如我们知道的，代数数是代数方程的解，代数方程的一般式是其中N是正整数，ai是整数。对于任何一个代数方程，将所有的系数（ai）的绝对值和N相加，我们称所得的值为方程的高。对于某个特定的高（例如5），存在有限个数的方程，每个方程至多有N个解。所以，所有的代数数都可以根据它的高和解来排列。因此，代数数是可数的。

那么超越数呢？超越数是否可以按照某种方式列成一张表？这看上去极不可能！我们甚至没有检测一个特定的数是否是超越数的一般步骤！
那么包含了代数数和超越数的实数呢？实数可数吗？
在1874年康托尔证明代数数可数的同一篇论文中，他也证明了实数是不可数的。

四、两种无穷

康托尔最终意识到至少有两种无穷：可数的无穷和不可数的无穷，即自然数的无穷和连续统的无穷。
我们眼前有两种不同的无穷的势：一种势适用于自然数、有理数与代数数；另一种势适用于实数和连续统。
可数的无穷和不可数的无穷之间的区别已被证明是极其有用的，即使想象一种简单的无穷就足以震撼人心。

康托尔在探索无限集合时还有其他惊人发现。他发现我们可以在连续统（直线上的实数）和平面上的点，乃至N维空间中的点之间建立一一对应关系。

五、阿列夫零

1891年，康托尔发表了另一个实数不可数的证明，从那以后，这个证明至今令人拍案叫绝。康托尔的证明涉及了集合而非数字，这种思路被称作对角线证明法（diagonal proof）、对角线过程（diagonal process）、对角线论证（diagonal argument）或者对角化（diagonalization）。
1895年，康托尔选择用希伯来文字母表中的第一个字母加上下标0，来表示可数的自然数集合（因此也是任何可数的无限集合）的基数。康托尔称这是第一超限数。

康托尔证明连续统的基数是：

六、连续统假设

康托尔证明了将任何一个非空集合的元素与其幂集的元素一一对应是不可能的，这个事实对于有限集合很明显，但对于无限集合就不明显了。这个结论现在称为康托尔定理，它也是1891年那篇介绍对角化技巧的论文的主要成果。正如一个集合有幂集一样，一个幂集同样可以有自己的幂集，等等。所有这些集合都有不同的基数。
康托尔的连续统假设，用数学语言表示为：

七、深刻涵义

这一切的深刻涵义在于可数集合的基数不仅仅是比连续统的基数小，

而且是非常，非常，非常，非常，非常小：

事实上，连续统与可数集的唯一区别在于，是否包含超越数。这说明，超越数非常非常非常多，占了实数的绝大部分。

八、应用

某些有现实意义的数学证明，包括图灵论文里的证明，核心问题就在于可数集合与不可数集合的区别上，如下图所示。

可数的无穷和不可数的无穷