数学建模国赛冲刺

数学建模国赛冲刺（评价模型系列）

第一章 层次分析法(理论篇）
第二章 优劣解距离法（Topis）(理论篇）

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前言

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）可以理解为逼近理想解排序法，国内也称作优劣解距离法。该方法只要求各效用函数具有单调递增(或递减）性就行。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法。

一、模型建立基本步骤

运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：

第一步：将原始矩阵正向化；
第二步: 将正向化转换成标准化；
第三步： 计算得分并归一化。

二、模型构建

1.将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

（1）如何极小型转化极大型：
max - x：最大值减去当前x
如果所有元素都为正数，直接变成倒数 1 / x

（2）如何中间型转化极大型：
设中间型为 x best ，那么未归一化得分公式为 M = max ( ∣ xi − x best ∣ ) ， xi = 1 − ∣ xi − x best ∣ / M

（3）如何区间型转化极大型：
是指值落在某个区间内最好，设区间为[a,b]，有 M = max ( a − min ( xi ) , max ( xi ) − b ) ，
xi = 1- | xi - a | / M , xi < a
xi = 1 , a < xi < b
xi = 1- | b - xi | / M , xi > b

2.将正向化转换成标准化

假设有n个评价对象，m个评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵如下：

那么对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每个元素：

（Z = 每个元素 / 其所在列的平方和的平方根）

3.计算得分并归一化。

假设有n个评价对象，m个评价指标（已经标准化）构成的标准化矩阵如下：

参考文献

数学建模算法、编程和写作培训的视频课程以及Matlab等软件教程 ——清风数学建模