数据结构

表、栈和队列

表

我们处理形如A₀,A₁,.....,A_N的一般的表。我们说这个表的大小是N。我们将大小为0 的特殊的表称为空表(empty list)。除空表之外的任何表，我们称A_i后继A_i-1(或A之后，ii-1前驱A_i（i>0）。

数组

数组是可以再内存中连续存储多个元素的结构，在内存中的分配也是连续的，数组中的元素通过数组下标进行访问，数组下标从0开始。例如下面这段代码就是将数组的第一个元素赋值为 1。

优点
1、按照索引查询元素速度快
2、按照索引遍历数组方便
缺点
1、数组的大小固定后就无法扩容了
2、数组只能存储一种类型的数据
3、添加，删除的操作慢，因为要移动其他的元素。
适用场景
频繁查询，对存储空间要求不大，很少增加和删除的情况。

链表

链表是物理存储单元上非连续的、非顺序的存储结构，数据元素的逻辑顺序是通过链表的指针地址实现，每个元素包含两个结点，一个是存储元素的数据域 (内存空间)，另一个是指向下一个结点地址的指针域。根据指针的指向，链表能形成不同的结构，例如单链表，双向链表，循环链表等。

image.png

优点：
链表是很常用的一种数据结构，不需要初始化容量，可以任意加减元素；
添加或者删除元素时只需要改变前后两个元素结点的指针域指向地址即可，所以添加，删除很快；
缺点
因为含有大量的指针域，占用空间较大；
查找元素需要遍历链表来查找，非常耗时。
适用场景
数据量较小，需要频繁增加，删除操作的场景

栈

栈是一种特殊的线性表，仅能在线性表的一端操作，栈顶允许操作，栈底不允许操作。 栈的特点是：先进后出(LIFO)，或者说是后进先出，从栈顶放入元素的操作叫入栈，取出元素叫出栈。

栈操作

栈的结构就像一个集装箱，越先放进去的东西越晚才能拿出来，所以，栈常应用于实现递归功能方面的场景，例如斐波那契数列。

队列

像栈一样，队列(queue)也是表。然而使用队列时插入在一端进行而删除在另一端进行。也就是：先进先出（FIFO）。从一端放入元素的操作称为入队，取出元素为出队，示例图如下：

image.png

使用场景
因为队列先进先出的特点，在多线程阻塞队列管理中非常适用

树

树是一种数据结构，它是由n（）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做 “树” 是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

每个节点有零个或多个子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
叶节点或终端节点：度为零的节点；
父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
森林：由m（）棵互不相交的树的集合称为森林。

二叉树

二叉树的定义： 二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2i-1个结点；深度为k的二叉树至多有2k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀ = n₂+1。

二叉树

二叉树的性质：

1. 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过2^i-1, ;
2. 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点()，最少有h个结点;
3. 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N₀，而度数为2的结点总数为N₂，则N₀=N₂+1;
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为log₂(n+1);
5. 有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：

若I为结点编号则 如果I>1，则其父结点的编号为；
　　如果2I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则无左儿子；
　　如果2I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则无右儿子。

6. 给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树，其中h(N)为卡特兰数的第N项，h(N) = 。
7. 设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2ⁱ。

满二叉树

定义： 除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点。也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值，所有叶子结点必须在同一层上。
满二叉树的性质：

1. 一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同，k=h;
2. 叶子数为2^h;
3. 第k层的结点数是：2^k-1;
4. 总结点数是：2^k-1，且总节点数一定是奇数。

满二叉树

完全二叉树

定义： 若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树

注：完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。

二叉查找树

定义：又称为是二叉排序树（Binary Sort Tree）或二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2. 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
3. 左、右子树也分别为二叉排序树；
4. 没有键值相等的节点。

二叉查找树的性质： 对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。

二叉查找树的时间复杂度：它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为O(logN )，但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是平衡查找树设计的初衷。二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。
　二叉查找树的插入过程如下：

1. 若当前的二叉查找树为空，则插入的元素为根节点;
2. 若插入的元素值小于根节点值，则将元素插入到左子树中;
3. 若插入的元素值不小于根节点值，则将元素插入到右子树中。

二叉查找树的删除，分三种情况进行处理：

1. p为叶子节点，直接删除该节点，再修改其父节点的指针（注意分是根节点和不是根节点），如图a;
2. p为单支节点（即只有左子树或右子树）。让p的子树与p的父亲节点相连，删除p即可（注意分是根节点和不是根节点），如图b;

3. p的左子树和右子树均不空。找到p的后继y，因为y一定没有左子树，所以可以删除y，并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点，并用y的值代替p的值；或者方法二是找到p的前驱x，x一定没有右子树，所以可以删除x，并让x的父亲节点成为y的左子树的父亲节点。如图c。

   
   
   a
   
   
   b
   
   
   c

平衡二叉树

我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log₂n，其各操作的时间复杂度O(log₂n)同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。于是就有了我们下边介绍的平衡二叉树。
定义：平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在，大大降低了操作的时间复杂度。

最小二叉平衡树的节点的公式如下：
　　F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1
这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

AVL树

定义：AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 "An algorithm for the organization of information"中发表了它。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树，N个结点的AVL树最大深度约。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。（x：算法中log级别的时间复杂度都是由于使用了分治思想,这个底数直接由分治的复杂度决定。如果采用二分法,那么就会以2为底数及x=2,三分法就会以3为底数及x=2）

AVL树的自平衡操作
旋转：
AVL树最关键的也是最难的一步操作就是旋转。旋转主要是为了实现AVL树在实施了插入和删除操作以后，树重新回到平衡的方法。下面我们重点研究一下AVL树的旋转。
　　对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：

四种不平衡的情况

1. 6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。
2. 6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。
3. 2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。
4. 2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。

从上图中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。
单旋转
单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。

image.png

为使树恢复平衡，我们把k1变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。
　　这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同，插入操作使得X高度长高了。因此，由于这颗子树高度没有变化，所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。
双旋转
对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。

图4

为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树。

红黑树

红黑树的定义:红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。它是在1972年由鲁道夫·贝尔发明的，称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的:它可以在O(logn)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。
红黑树和AVL树一样都对插入时间、删除时间和查找时间提供了最好可能的最坏情况担保。这不只是使它们在时间敏感的应用如实时应用（real time application）中有价值，而且使它们有在提供最坏情况担保的其他数据结构中作为建造板块的价值；例如，在计算几何中使用的很多数据结构都可以基于红黑树。此外，红黑树还是2-3-4树的一种等同，它们的思想是一样的，只不过红黑树是2-3-4树用二叉树的形式表示的。
红黑树的性质：
红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色为红色或黑色。在二叉查找树强制的一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:

性质1. 节点是红色或黑色。
性质2. 根是黑色。
性质3. 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）。
性质4. 每个红色节点必须有两个黑色的子节点。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点。)
性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

红黑树的图例

这些约束确保了红黑树的关键特性:

从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。
　　要知道为什么这些性质确保了这个结果，注意到性质4导致了路径不能有两个毗连的红色节点就足够了。最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

红黑树的自平衡操作：
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的性质需要少量(O(logn))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为O(logn) 次。

我们首先以二叉查找树的方法增加节点并标记它为红色。如果设为黑色，就会导致根到叶子的路径上有一条路上，多一个额外的黑节点，这个是很难调整的（违背性质5）。但是设为红色节点后，可能会导致出现两个连续红色节点的冲突，那么可以通过颜色调换（color flips）和树旋转来调整。下面要进行什么操作取决于其他临近节点的颜色。同人类的家族树中一样，我们将使用术语叔父节点来指一个节点的父节点的兄弟节点。注意:

性质1和性质3总是保持着。
性质4只在增加红色节点、重绘黑色节点为红色，或做旋转时受到威胁。
性质5只在增加黑色节点、重绘红色节点为黑色，或做旋转时受到威胁。

插入操作：
假设，将要插入的节点标为N，N的父节点标为P，N的祖父节点标为G，N的叔父节点标为U。在图中展示的任何颜色要么是由它所处情形这些所作的假定，要么是假定所暗含的。
　　情形1: 该树为空树，直接插入根结点的位置，违反性质1，把节点颜色有红改为黑即可。
　　情形2: 插入节点N的父节点P为黑色，不违反任何性质，无需做任何修改。在这种情形下，树仍是有效的。性质5也未受到威胁，尽管新节点N有两个黑色叶子子节点；但由于新节点N是红色，通过它的每个子节点的路径就都有同通过它所取代的黑色的叶子的路径同样数目的黑色节点，所以依然满足这个性质。

注： 情形1很简单，情形2中P为黑色，一切安然无事，但P为红就不一样了，下边是P为红的各种情况，也是真正难懂的地方。

情形3: 如果父节点P和叔父节点U二者都是红色，(此时新插入节点N做为P的左子节点或右子节点都属于情形3,这里右图仅显示N做为P左子的情形)则我们可以将它们两个重绘为黑色并重绘祖父节点G为红色(用来保持性质4)。现在我们的新节点N有了一个黑色的父节点P。因为通过父节点P或叔父节点U的任何路径都必定通过祖父节点G，在这些路径上的黑节点数目没有改变。但是，红色的祖父节点G的父节点也有可能是红色的，这就违反了性质4。为了解决这个问题，我们在祖父节点G上递归地进行上述情形的整个过程（把G当成是新加入的节点进行各种情形的检查）。比如，G为根节点，那我们就直接将G变为黑色（情形1）；如果G不是根节点，而它的父节点为黑色，那符合所有的性质，直接插入即可（情形2）；如果G不是根节点，而它的父节点为红色，则递归上述过程（情形3）。

image.png

情形4: 父节点P是红色而叔父节点U是黑色或缺少，新节点N是其父节点的左子节点，而父节点P又是其父节点G的左子节点。在这种情形下，我们进行针对祖父节点G的一次右旋转; 在旋转产生的树中，以前的父节点P现在是新节点N和以前的祖父节点G的父节点。我们知道以前的祖父节点G是黑色，否则父节点P就不可能是红色(如果P和G都是红色就违反了性质4，所以G必须是黑色)。我们切换以前的父节点P和祖父节点G的颜色，结果的树满足性质4。性质5也仍然保持满足，因为通过这三个节点中任何一个的所有路径以前都通过祖父节点G，现在它们都通过以前的父节点P。在各自的情形下，这都是三个节点中唯一的黑色节点。

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情形5: 父节点P是红色而叔父节点U是黑色或缺少，并且新节点N是其父节点P的右子节点而父节点P又是其父节点的左子节点。在这种情形下，我们进行一次左旋转调换新节点和其父节点的角色; 接着，我们按情形4处理以前的父节点P以解决仍然失效的性质4。注意这个改变会导致某些路径通过它们以前不通过的新节点N（比如图中1号叶子节点）或不通过节点P（比如图中3号叶子节点），但由于这两个节点都是红色的，所以性质5仍有效。

image.png

注: 插入实际上是原地算法，因为上述所有调用都使用了尾部递归。

删除操作：
如果需要删除的节点有两个儿子，那么问题可以被转化成删除另一个只有一个儿子的节点的问题。对于二叉查找树，在删除带有两个非叶子儿子的节点的时候，我们找到要么在它的左子树中的最大元素、要么在它的右子树中的最小元素，并把它的值转移到要删除的节点中。我们接着删除我们从中复制出值的那个节点，它必定有少于两个非叶子的儿子。因为只是复制了一个值，不违反任何性质，这就把问题简化为如何删除最多有一个儿子的节点的问题。它不关心这个节点是最初要删除的节点还是我们从中复制出值的那个节点。
　　我们只需要讨论删除只有一个儿子的节点(如果它两个儿子都为空，即均为叶子，我们任意将其中一个看作它的儿子)。如果我们删除一个红色节点（此时该节点的儿子将都为叶子节点），它的父亲和儿子一定是黑色的。所以我们可以简单的用它的黑色儿子替换它，并不会破坏性质3和性质4。通过被删除节点的所有路径只是少了一个红色节点，这样可以继续保证性质5。另一种简单情况是在被删除节点是黑色而它的儿子是红色的时候。如果只是去除这个黑色节点，用它的红色儿子顶替上来的话，会破坏性质5，但是如果我们重绘它的儿子为黑色，则曾经通过它的所有路径将通过它的黑色儿子，这样可以继续保持性质5。
　　需要进一步讨论的是在要删除的节点和它的儿子二者都是黑色的时候，这是一种复杂的情况。我们首先把要删除的节点替换为它的儿子。出于方便，称呼这个儿子为N(在新的位置上)，称呼它的兄弟(它父亲的另一个儿子)为S。在下面的示意图中，我们还是使用P称呼N的父亲，SL称呼S的左儿子，SR称呼S的右儿子。
　　如果N和它初始的父亲是黑色，则删除它的父亲导致通过N的路径都比不通过它的路径少了一个黑色节点。因为这违反了性质5，树需要被重新平衡。有几种情形需要考虑:
　　情形1: N是新的根。在这种情形下，我们就做完了。我们从所有路径去除了一个黑色节点，而新根是黑色的，所以性质都保持着。

注意: 在情形2、5和6下，我们假定N是它父亲的左儿子。如果它是右儿子，则在这些情形下的左和右应当对调。

情形2: S是红色。在这种情形下我们在N的父亲上做左旋转，把红色兄弟转换成N的祖父，我们接着对调N的父亲和祖父的颜色。完成这两个操作后，尽管所有路径上黑色节点的数目没有改变，但现在N有了一个黑色的兄弟和一个红色的父亲（它的新兄弟是黑色因为它是红色S的一个儿子），所以我们可以接下去按情形4、情形5或情形6来处理。

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情形3: N的父亲、S和S的儿子都是黑色的。在这种情形下，我们简单的重绘S为红色。结果是通过S的所有路径，它们就是以前不通过N的那些路径，都少了一个黑色节点。因为删除N的初始的父亲使通过N的所有路径少了一个黑色节点，这使事情都平衡了起来。但是，通过P的所有路径现在比不通过P的路径少了一个黑色节点，所以仍然违反性质5。要修正这个问题，我们要从情形1开始，在P上做重新平衡处理。

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　情形4: S和S的儿子都是黑色，但是N的父亲是红色。在这种情形下，我们简单的交换N的兄弟和父亲的颜色。这不影响不通过N的路径的黑色节点的数目，但是它在通过N的路径上对黑色节点数目增加了一，添补了在这些路径上删除的黑色节点。

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情形5: S是黑色，S的左儿子是红色，S的右儿子是黑色，而N是它父亲的左儿子。在这种情形下我们在S上做右旋转，这样S的左儿子成为S的父亲和N的新兄弟。我们接着交换S和它的新父亲的颜色。所有路径仍有同样数目的黑色节点，但是现在N有了一个黑色兄弟，他的右儿子是红色的，所以我们进入了情形6。N和它的父亲都不受这个变换的影响。

image.png

情形6: S是黑色，S的右儿子是红色，而N是它父亲的左儿子。在这种情形下我们在N的父亲上做左旋转，这样S成为N的父亲（P）和S的右儿子的父亲。我们接着交换N的父亲和S的颜色，并使S的右儿子为黑色。子树在它的根上的仍是同样的颜色，所以性质3没有被违反。但是，N现在增加了一个黑色祖先: 要么N的父亲变成黑色，要么它是黑色而S被增加为一个黑色祖父。所以，通过N的路径都增加了一个黑色节点。

此时，如果一个路径不通过N，则有两种可能性:
它通过N的新兄弟。那么它以前和现在都必定通过S和N的父亲，而它们只是交换了颜色。所以路径保持了同样数目的黑色节点。
它通过N的新叔父，S的右儿子。那么它以前通过S、S的父亲和S的右儿子，但是现在只通过S，它被假定为它以前的父亲的颜色，和S的右儿子，它被从红色改变为黑色。合成效果是这个路径通过了同样数目的黑色节点。
在任何情况下，在这些路径上的黑色节点数目都没有改变。所以我们恢复了性质4。在示意图中的白色节点可以是红色或黑色，但是在变换前后都必须指定相同的颜色。

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B树

具体讲解之前，有一点，再次强调下：B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree（B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思），而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是一种一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。特此说明。

用阶定义B树： B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树

B树定义

上图说明:

1.树中每个结点最多含有m个孩子（）；
2.除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有个孩子）；
3.若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
4.所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)。
5.每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (·n，P₀，K₁，P₁，K₂，P₂，......，K_n，P_n)。其中：

• a) K_i(i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
• b) P_i为指向子树的节点，且指针P_i-1指向子树中所有结点的关键字均小于K_i，但都大于K_i-1。
• c) 关键字的个数n必须满足：。

B树

从图上和定义中B树的特征如下:

B+树

一棵m阶B+树的定义为：
①树中每个结点至多有m棵子树；
②根结点至少有1棵子树；除根结点之外，每个结点至少有 棵子树；
③所有叶子结点都出现在同一层上，按从小到大的顺序存放全部关键字，各叶结点顺序链接；
④有n棵子树的结点有n个关键字；
⑤所有非叶子结点可以看成叶结点的索引，结点中关键字K_i与指向子树的指针P_i构成对子树的索引项(K_i,P_i)，K_i是子树中最大的关键字。

B+树

一棵m阶B+树是B树的特殊情形，它与B树的不同之外在于：

1.所有关键字都存放与所有的叶子节点（B-树的关键字不全在叶子节点上，而是分布在整棵树上），非叶子结点的关键字是其子树中最大或者最小关键字的拷贝；
2.叶子结点包含了全部关键字及指向相应数据记录存放地址的指针，且叶子结点本身按关键字值从小到大顺序链接（B树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息）；
3.有n棵子树的结点中含有n个关键字； (B~树是n棵子树有n+1个关键字)
4.所有的非叶子点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (B~树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

一般B+树的实现会增加两个头指针一个指向根节点，另一个指向关键字最小的元素，因此B+树有两种遍历的方式：

public class BPlusTree {  
      
    /** 根节点 */  
    protected Node root;  
      
    /** 阶数，M值 */  
    protected int order;  
      
    /** 叶子节点的链表头(关键字最小的元素)*/  
    protected Node head;  
}
/**
*树的结点
*/
class Node {  
      
    /** 是否为叶子节点 */  
    protected boolean isLeaf;  
      
    /** 是否为根节点*/  
    protected boolean isRoot;  
  
    /** 父节点 */  
    protected Node parent;  
      
    /** 叶节点的前节点*/  
    protected Node previous;  
      
    /** 叶节点的后节点*/  
    protected Node next;      
      
    /** 节点的关键字 */  
    protected List> entries;  
      
    /** 子节点 */  
    protected List children;  
}

B*树

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针，将结点的最低利用率从提高到。

B树定义了非叶子结点关键字个数至少为M，即块的最低使用率为（代替B+树的）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

Trie树

散列（哈希）

什么是哈希表

哈希表是以 Key-Value 形式存储的的数据结构，当我们需要查找某个值，只需要输入相应的Key值即可。
首先我们看看整个哈希表的逻辑机构图

逻辑结构图

哈希的整个思路也比较简单，首先将Key按照特定的哈希算法（算法的选择，根据需要而定）函数H(Key)生成哈希值，再将哈希值转为数组的一个索引（Index）；因为不同的哈希值可能获得同意额索引，也有可能不同的Key 但哈希值相同，所以接下来就是处理索引冲突。

常见的哈希函数

.正整数
如果Key是正整数，常用的哈希算法就是对Key取模运算，也就是对于长度为L的数组，那么对于任意的正整数N，获得 index = N%L
.字符串
对于字符串也可以采用取模的运算 来获取索引值，但是须将字符串转为正整数，常用的方法就是将字符串中的每个字符进行hash
例如Java中：

public int hashCode() {
        int h = hash;
        if (h == 0 && value.length > 0) {
            char val[] = value;

            for (int i = 0; i < value.length; i++) {
                h = 31 * h + val[i];
            }
            hash = h;
        }
        return h;
    }

哈希冲突

拉链法

通过H（key）可以将哈希值转为0 至 L-1范围内的索引，但是对于索引相同的情况，就需要有一种方法来解决这种问题。
一种比较简单的办法就是，将长度为L 的数组的每一个元素指向一个条链表，链表中的每一个节点都存储散列值为该索引的键值对，这就是拉链法。下图很清楚的描述了什么是拉链法。
如下图所示

网络图片

图中，”John Smith”和”Sandra Dee” 通过哈希函数都指向了152 这个索引，该索引又指向了一个链表， 在链表中依次存储了这两个字符串。
该方法的基本思想就是选择足够长度的数组，使得所有的链表都尽可能的短小，以保证查找的效率。对采用拉链法的哈希实现的查找分为两步，首先是根据散列值找到对应的链表，然后沿着链表顺序找到相应的哈希值H(key)。此链表可以自己实现。当然，您也可以使用Java里面内置的LinkedList。使用拉链法最关键的就是选择合适长度的数组，使得因为链表太长而增加查找时间，又不会因为空置的链表的浪费空间。

开放地址法

这种方法也称再散列法，其基本思想是：当关键字key的哈希地址p=H（key）出现冲突时，以p为基础，产生另一个哈希地址p₁，如果p₁仍然冲突，再以p为基础，产生另一个哈希地址p₂，以此类推直到找出一个不冲突的哈希地址p_i ，将相应元素存入其中。这种方法有一个通用的再散列函数形式：
Hi=（H（key）+d_i）% m （i=1，2，…，n)
其中H（key）为哈希函数，m 为表长，d_i称为增量序列。增量序列的取值方式不同，相应的再散列方式也不同。主要有以下三种：

1.线性探测再散列法

d_i(i=1，2，3，…，m-1)
这种方法的特点是：冲突发生时，顺序查看表中下一单元地址，直到找出一个空单元或查遍全表。

2.二次探测再散列

d_i=1²，-1²，2²，-2²，…，k²，-k² ( k<=m/2)
这种方法的特点是：冲突发生时，在表的左右进行跳跃式探测，比较灵活。

3.伪随机探测再散列

d_i=伪随机数序列。具体实现时，应建立一个伪随机数发生器，（如i=(i+p) % m），并给定一个随机数做起点。

例如，已知哈希表长度m=11，哈希函数为：H（key）= key % 11，则H（47）=3，H（26）=4，H（60）=5，假设下一个关键字为69，则H（69）=3，与47冲突。
如果用线性探测再散列处理冲突，下一个哈希地址为H₁=（3 + 1）% 11 = 4，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H₂=（3 + 2）% 11 = 5，还是冲突，继续找下一个哈希地址为H₃=（3 + 3）% 11 = 6，此时不再冲突，将69填入5号单元。
如果用二次探测再散列处理冲突，下一个哈希地址为H₁=3 + 1²）% 11 = 4，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H₂=（3 - 1²）% 11 = 2，此时不再冲突，将69填入2号单元。
如果用伪随机探测再散列处理冲突，且伪随机数序列为：2，5，9，……..，则下一个哈希地址为H₁=（3 + 2）% 11 = 5，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H₂=（3 + 5）% 11 = 8，此时不再冲突，将69填入8号单元。

再哈希法

这种方法是同时构造多个不同的哈希函数：
H=RH_i（key） （i=1，2，…，k)
当哈希地址H=RH_i（key）发生冲突时，再计算H=RH_i+1（key，以此类推直到冲突不再产生。这种方法不易产生聚集，但增加了计算时间。

建立公共溢出区

这种方法的基本思想是：将哈希表分为基本表和溢出表两部分，凡是和基本表发生冲突的元素，一律填入溢出表。

哈希碰撞攻击

我们知道如果哈希函数选择不当会使得大量的键都会映射到相同的索引上，不管是采用拉链法还是开放寻址法解决冲突，在后面查找的时候都需要进行多次探测或者查找， 在很多时候会使得哈希表的查找效率退化，而不再是常数时间。下图清楚的描述了退化后的哈希表：

hash弱化

哈希表攻击就是通过精心构造哈希函数，使得所有的键经过哈希函数后都映射到同一个或者几个索引上，将哈希表退化为了一个单链表，这样哈希表的各种操作，比如插入，查找都从O(1)退化到了链表的查找操作，这样就会消耗大量的CPU资源，导致系统无法响应，从而达到拒绝服务供给(Denial of Service, Dos)的目的。之前由于多种编程语言的哈希算法的“非随机”而出现了Hash碰撞的DoS安全漏洞，在ASP.NET中也曾出现过这一问题。

堆(优先队列)

二叉堆

d-堆

左式堆

斜堆

二项队列

参考资料

https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142/