day51| 309.最佳买卖股票时机含冷冻期、714.买卖股票的最佳时机含手续费

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解题及思路学习

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/

给定一个整数数组prices,其中第  **prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

  • 卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

**注意:**你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出:3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

思考:这道题和之前的不同之处在于冷冻期。

随想录:四个状态。dp[i][0] 持有股票、dp[i][1] 保持卖出股票、dp[i][2] 卖出股票、dp[i][3] 冷冻期。

动规五部曲,分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

    dp[i][j],第i天状态为j,所剩的最多现金为dp[i][j]。

    具体可以区分出如下四个状态:

    • 状态一:持有股票状态(今天买入股票,或者是之前就买入了股票然后没有操作,一直持有)
    • 不持有股票状态,这里就有两种卖出股票状态
      • 状态二:保持卖出股票的状态(两天前就卖出了股票,度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态,一直没操作)
      • 状态三:今天卖出股票
    • 状态四:今天为冷冻期状态,但冷冻期状态不可持续,只有一天!

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Qxf9ZZ4e-1689219234758)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/1e5b3780-a0fc-4c8e-a436-f755a3692f0a/Untitled.png)]

  2. 确定递推公式

    达到买入股票状态(状态一)即:dp[i][0],有两个具体操作:

    • 操作一:前一天就是持有股票状态(状态一),dp[i][0] = dp[i - 1][0]
    • 操作二:今天买入了,有两种情况
      • 前一天是冷冻期(状态四),dp[i - 1][3] - prices[i]
      • 前一天是保持卖出股票的状态(状态二),dp[i - 1][1] - prices[i]

    那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

    达到保持卖出股票状态(状态二)即:dp[i][1],有两个具体操作:

    • 操作一:前一天就是状态二
    • 操作二:前一天是冷冻期(状态四)

    dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

    达到今天就卖出股票状态(状态三),即:dp[i][2] ,只有一个操作:

    昨天一定是持有股票状态(状态一),今天卖出

    即:dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

    达到冷冻期状态(状态四),即:dp[i][3],只有一个操作:

    昨天卖出了股票(状态三)

    dp[i][3] = dp[i - 1][2];

  3. dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态(状态一)那么:dp[0][0] = -prices[0],一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态(状态二),这里其实从 「状态二」的定义来说 ,很难明确应该初始多少,这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。

如果i为1,第1天买入股票,那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ,即 dp[0][1] - prices[1],那么大家感受一下 dp[0][1] (即第0天的状态二)应该初始成多少,只能初始为0。想一想如果初始为其他数值,是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票(状态三),同上分析,dp[0][2]初始化为0,dp[0][3]也初始为0。

  1. 确定遍历顺序

    从递归公式上可以看出,dp[i] 依赖于 dp[i-1],所以是从前向后遍历。

  2. 举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例,dp数组如下:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-KnplyEVF-1689219234761)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/cdfdfd5f-ec9e-4dee-a347-a1a585e4b60e/Untitled.png)]

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(4, 0));
        dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]));
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }
        return max(dp[n - 1][3], max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

真的牛。把状态区分的很细。我发现股票问题很多都是在状态上下功夫。

714.买卖股票的最佳时机含手续费

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/

给定一个整数数组 prices,其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ;整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易,但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意:**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程,每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入:prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出:8

思考:跟之前的股票买卖相比,就多了一个手续费。

终于又有一道能自己AC的题了

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};

随想录:

主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义:

dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0], 那么可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][0]
  • 第i天买入股票,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即:dp[i - 1][1] - prices[i]

所以:dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况, 依然可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就不持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][1]
  • 第i天卖出股票,所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金,注意这里需要有手续费了即:dp[i - 1][0] + prices[i] - fee

所以:dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
        }
        return max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]);
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

股票总结

https://programmercarl.com/动态规划-股票问题总结篇.html#卖股票的最佳时机

知识点记录

知识点

股票问题完结

总结:股票问题很多时候要多设几个状态。要把各种状态间的情况分析清楚。主要就是递推公式那里会有变动。

个人反思

动态规划博大精深

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