day52 | 300.最长递增子序列、最长连续递增序列、最长重复子数组
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解题及思路学习
300.最长递增子序列
https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
思考：动态规划可以做。dp[i] 表示下表为i时候最长递增子序列。
随想录：
-
dp[i]的定义
本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
-
状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
-
dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
-
确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
-
举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EfQFGXoM-1689466267263)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/fa21ecf8-e450-4243-a08c-57964c50e735/Untitled.png)]
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector<int> dp(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
return result;
}
};
- 时间复杂度: O(n^2)
- 空间复杂度: O(n)
本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
674. 最长连续递增序列
https://leetcode.cn/problems/longest-continuous-increasing-subsequence/
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
示例 1：
输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
思考：和上一题相比，主要区别是要求连续递增。所以对于一个数据，判断是否连续递增，只能从前一个数去判断。
class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector<int> dp(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1;
if (dp[i] > result) result = dp[i];
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
贪心
这道题目也可以用贪心来做，也就是遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。
class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
int result = 1; // 连续子序列最少也是1
int count = 1;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
count++;
} else { // 不连续，count从头开始
count = 1;
}
if (count > result) result = count;
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
718. 最长重复子数组
https://leetcode.cn/problems/maximum-length-of-repeated-subarray/
给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
示例 1：
输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
思考：假如设dp[i] 表示以下标i结尾的最大公共子数组dp[i]。
随想录：本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：
1、含义：dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
2、递推公式：
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！
3、初始化：
根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
4、遍历顺序
两层for循环，顺序可颠倒。
同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
5、举例推导dp数组
拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Tl2NiOdV-1689466267266)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/c848c468-8638-4682-a2b0-57f22a5203da/Untitled.png)]
/ 版本一
class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
int result = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
- 空间复杂度：O(n × m)
滚动数组
我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。
此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。
// 版本二
class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {
vector<int> dp(vector<int>(B.size() + 1, 0));
int result = 0;
for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
for (int j = B.size(); j > 0; j--) {
if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
dp[j] = dp[j - 1] + 1;
} else dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
if (dp[j] > result) result = dp[j];
}
}
return result;
}
};
- 时间复杂度： O ( n × m ) O(n × m) O(n×m)，n 为A长度，m为B长度
- 空间复杂度： O ( m ) O(m) O(m)
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动态规划求最长子序列