常见算法思想——模拟退火算法

简单介绍

模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种基于概率的全局优化算法，其灵感来源于固体退火过程中的原子在降温过程中达到低能量状态的行为。该算法通过模拟原子退火过程，逐步降低系统温度，并接受一定概率的劣解，以避免陷入局部最优解，从而寻找全局最优解。

一般步骤

1. 初始化温度T和初始解x。
2. 重复以下过程直到满足停止条件：
   • 生成当前解的邻域解x’。
   • 计算目标函数的变化ΔE = f(x’) - f(x)。
   • 如果ΔE < 0，接受邻域解x’，将x更新为x’。
   • 如果ΔE > 0，以概率exp(-ΔE / T)接受邻域解x’，如果接受则将x更新为x’。
   • 降低温度T。
3. 返回最优解x。

应用示例

下面是一个简单的使用C++实现的模拟退火算法示例，用于求解函数f(x) = x^2 的最小值。

#include 
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// 目标函数
double f(double x) {
    return x * x;
}

// 模拟退火算法
double simulatedAnnealing() {
    // 初始温度
    double temperature = 1000.0;
    // 终止温度
    double minTemperature = 0.01;
    // 温度衰减率
    double coolingRate = 0.95;
    // 当前解
    double currentSolution = 10.0;

    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());
    std::uniform_real_distribution<double> distribution(-1.0, 1.0);

    while (temperature > minTemperature) {
        // 生成邻域解
        double nextSolution = currentSolution + distribution(gen);
        // 计算目标函数变化
        double deltaE = f(nextSolution) - f(currentSolution);
        // 接受更差解或根据概率接受
        if (deltaE < 0 || std::exp(-deltaE / temperature) > distribution(gen)) {
            currentSolution = nextSolution;
        }
        // 降低温度
        temperature *= coolingRate;
    }

    return currentSolution;
}

int main() {
    double solution = simulatedAnnealing();
    std::cout << "Optimal solution: " << solution << std::endl;
    std::cout << "Minimum value: " << f(solution) << std::endl;
    return 0;
}

在这个示例中，我们使用随机数生成器（std::random_device和std::mt19937）来生成邻域解和接受概率。simulatedAnnealing函数通过迭代不断降低温度，并根据目标函数变化和接受概率更新当前解，直到满足停止条件（温度达到终止温度）。最后，我们输出找到的最优解及其对应的目标函数值。

文章小结

模拟退火算法的基本思想是通过在解空间中随机搜索，并以一定概率接受更差的解，随着温度的逐渐降低，概率逐渐减小，最终收敛到全局最优解。实际应用中可能需要根据具体问题进行适当的调整和改进。