第十四周第二次总结（树状数组）

这里有一个数组（假设其无限大），我们需要进行两个操作

（1）修改其中某个元素的数值

（2）求出前n个元素的和

原理：

1

我们可以先把它提前进行相加（类似于前缀和）

 这样相加时时间减少了一半，修改时只需要多更改一个数字而已，但是依旧很慢

2

我们在1的基础上，多加几层

如我们要计算前2个和前3个的时候不能用 5 这个数字，且在计算前4与前5的时候使用上面的 19 更好

所以说  5  根本不需要存在

依次类推，数组中用很多这样没必要存在的数据

后面我们发现，所有层的第偶数个数字都是没用的，即使去掉也不影响我们计算

然后我们观察之后的数据，剩下的数据个数刚好时偶数个

 

将这些数组转入一个新的数组中，此时这个数组就是一颗树状数组

 下面的每一个区间表示的是原数组的某个区间和

我们在求和时只需要找到对应的区间，将整型区间相加即看找到答案，我们修改某个数据时，

我们要也只需要向上找到包含它的区间进行修改即可

 

lowbit操作

非负整数n在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数组

如：lowbit(44)=lowbit((101100)2)=(100)2=4

为了求这个数值

101100   //先进行按位取反

010011   //在进行加 1

010100  //此时除了最低位的1和后面的0  其他的数与原来的数都不相同

进行按位与后

101100

010100

变为 000100  变为 4

但是又因为，计算机存储时使用的时补码

我们对整数取反的话，得到的就是一个负的

所以说我们对一个数进行取反加1就等于负的这个数

即  ~n+1=-n

总的来说

lowbit(n)=n&(-n+1)

                =n&-n

我们可以发现t[len]覆盖的长度就是lowbit(x)，即在len为几就覆盖了几个数

 而且整颗树的深度为  logn+1