第十五周第一次总结

01背包问题

01背包问题(0代表这个东西不拿，1代表这个物品拿，涉及到动态规划)

就是一个拿与不拿的问题

我们可以这样看

 

我们先拿上一个2公斤的，然后价值变为1，然后我们遇到一个4公斤的，于是我们把2公斤的丢掉，放上4公斤的。。。

我们首先创建一个dp数组    dp[i][j]

I 我们来当前第几个物品，

j  我们显示我们当前的容量

w[i]   物品的重量

c[i]      物品的价值

我们会遇到两种情况

当j的时候，背包不足以放下，这件物品拿不了，此时

                   dp[i][j]=dp[i-1][j]

当j>=w[i]的时候，背包可以放下，我们需要思考是拿了价值大，还是不拿价值大

（1）选择不拿，dp[i][j]=dp[i-1][j]

（2）选择拿，背包的容量就变大，剩余容量需要减去w[i],，价值需要加上c[i]

       也就是变为：dp[i-1][j-w[i]]+c[i]

 我们遇到第一个物品时

 当我们遇到第二个物品时，会遇到

如果说我们拿了，就相当于我们把容量全部用光了，也就是 2 我们不拿了

 

如果我们选择拿，dp[i-1][j-w[i]]+c[i]=dp[1][0]+3,显然拿3要比1好

此时我们可以写出状态转移方程

max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i])

我们来比较大小来得到最好的解

当我们遇到第三个物品时，应该要变为4

我们根据观察，(5,3)这个位置应该填4

如果我们不拿，(5,3)也就是1

但是我们根据公式去拿，dp[1][2]+3=1+3=4

所以说这个位置应该填  4 

 

也就是如果选择了这件物品，就需要计算背包剩余容量能装的最大价值，当前容量为j，

剩余容量就是j-这个物品的重量，而剩余容量能装的价值是之前就已经计算好的

我们可以得到总的方程

if(j

dp[i][j]=dp[i-1][j];

else

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i]);

#include
int dp[100][205];
int w[100],c[100];
int max(int a,int b)
{
	if(a>b)
	return a;
	else
	return b;
}
int main()
{
	int m,n;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)	
	scanf("%d %d",&w[i],&c[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(j

 

动态规划有一个后无效性原则：当前状态只于上一个有关，与上上一个无关

我们发现，在我们这个二维的dp表中，我们可以通过滚动数组的方式来进行压缩，

如果数据很大，需要的数组就很大，但是我们只需要上一个的最大价值就可以了

if(j>=w[i])

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i])

 

               方向

 

  后                         前

#include
int w[100],c[100],dp[205];
int max(int a,int b)
{
	if(a>b)
	return a;
	else
	return b;
}
int main()
{
	int m,n;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)	
	scanf("%d %d",&w[i],&c[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=1;j--)//递推要从后往前 
		{
		if(j>=w[i])
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
		}
		for(int k=0;k<=m;k++)	//刷新依次打印一次 
		{
				printf("%d ",dp[k]);
		}
		printf("\n");
	}
	
	printf("%d",dp[m]);
	return 0;
}