10秒!看清导数与微分的关系

先上表格,理清导数与微分的区别在哪。

定义 几何意义 表达公式 关系
导数 设函数y=f(x)在x0点的某一邻域内有定义,当自变量x在x0点有增量Δx,函数y相应有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。若函数的增量与自变量的增量之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在x0点处可导,该极限值称为函数f(x)在x0点处的导数 导数是函数在某点的变化率 f’(x)=dy/dx
微分 函数y=f(x)在点x0的增量可表示为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+ο(Δx)称函数y=f(x)在点x0可微,而AΔx称为f(x)在点x0的微分,记作dy或df,即dy=AΔx 函数y=f(x)在x点的微分等于曲线在该点的切线的纵坐标的增量 dy=f′(x)dx 函数的导数 = 函数的微分与自变量微分之商. 因此,导数又称微商.

由上表可以得出一个结论:
知道导数之后,求微分自然也就没问题了,微商

导数的应用

        • 一、导数推出的定理与法则
          • 1.1 微分中值定理
            • 1.1.1 费马引理
            • 1.1.2 罗尔定理
            • 1.1.3 拉格朗日中值定理
            • 1.1.4 柯西中值定理
          • 1.2 洛必达法则
        • 二、导数推出函数的特征
          • 2.1 函数的单调性
          • 2.2 函数的极值
          • 2.3 函数曲线的凹凸性和拐点、渐近线
            • 2.3.1 拐点
            • 2.3.2 凹凸性
            • 2.3.3 渐近线

一、导数推出的定理与法则

1.1 微分中值定理
1.1.1 费马引理

[费马(Fermat)引理] 
在这里插入图片描述
通过证明函数的每一个极值都是驻点(函数的导数在该点为零),该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此,利用费马引理,求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

1.1.2 罗尔定理

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1.1.3 拉格朗日中值定理

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1.1.4 柯西中值定理

柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它叙述为:如果函数 f 和 g 都在闭区间[a,b] 上连续,且在开区间 (a,b) 上可微,那么存在某个 c ∈ (a,b),使得
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1.2 洛必达法则

洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。该法则以法国数学家纪尧姆·德·洛必达的名字命名,但实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。
洛必达法则可以求出特定函数趋近于某数的极限值。
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二、导数推出函数的特征

2.1 函数的单调性
  • 导数非负,函数单调递增
  • 导数非正,函数单调递减
2.2 函数的极值

在数学中,极大值与极小值(统称极值)是指在一个域上函数取得最大值(或最小值)的点的函数值。而使函数取得极值的点(的横坐标)被称作极值点。这个域既可以是一个邻域,又可以是整个函数域(这时极值称为最值)。

求全局极值最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数,求极值的一种方法是求驻点,也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正,那么这个点就是局部最小值;如果二阶导数为负,则是局部最大值;如果为零,则还需要进一步的研究。

一般地,如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零,而N+1阶导数不为零,则当N奇数且N+1阶导数为正时,该点为极小值;当N是奇数且N+1阶导数为负时,该点为极大值;如果N是偶数,则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内,则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点,则这些不可导点也可能是极值

2.3 函数曲线的凹凸性和拐点、渐近线
2.3.1 拐点

拐点(英语:Inflection point)或称反曲点,是一条连续曲线改变凹凸性的点,或者等价地说,是使切线穿越曲线的点。直观地说,拐点是使切线穿越曲线的点。

2.3.2 凹凸性

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2.3.3 渐近线
  • 极限趋近于无穷,则为垂直渐近线
  • 极限趋近于常数,则为水平渐近线
  • 极限趋近于直线方程,则为斜渐近线

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