10秒！看清导数与微分的关系

先上表格，理清导数与微分的区别在哪。

	定义	几何意义	表达公式	关系
导数	设函数y=f(x)在x0点的某一邻域内有定义，当自变量x在x0点有增量Δx，函数y相应有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。若函数的增量与自变量的增量之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点处可导，该极限值称为函数f(x)在x0点处的导数	导数是函数在某点的变化率	f’(x)=dy/dx
微分	函数y=f（x）在点x0的增量可表示为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+ο（Δx）称函数y=f(x)在点x0可微，而AΔx称为f(x)在点x0的微分，记作dy或df，即dy=AΔx	函数y=f(x)在x点的微分等于曲线在该点的切线的纵坐标的增量	dy=f′(x)dx	函数的导数 = 函数的微分与自变量微分之商. 因此，导数又称微商.

由上表可以得出一个结论：
知道导数之后，求微分自然也就没问题了，微商

一、导数推出的定理与法则

1.1 微分中值定理

1.1.1 费马引理

[费马（Fermat）引理]　

通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

1.1.2 罗尔定理

1.1.3 拉格朗日中值定理

1.1.4 柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式。它叙述为：如果函数 f 和 g 都在闭区间[a,b] 上连续，且在开区间 (a,b) 上可微，那么存在某个 c ∈ (a,b),使得

1.2 洛必达法则

洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。该法则以法国数学家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。
洛必达法则可以求出特定函数趋近于某数的极限值。

二、导数推出函数的特征

2.1 函数的单调性

• 导数非负，函数单调递增
• 导数非正，函数单调递减

2.2 函数的极值

在数学中，极大值与极小值（统称极值）是指在一个域上函数取得最大值（或最小值）的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值）。

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数，求极值的一种方法是求驻点，也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正，那么这个点就是局部最小值；如果二阶导数为负，则是局部最大值；如果为零，则还需要进一步的研究。

一般地，如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零，而N+1阶导数不为零，则当N奇数且N+1阶导数为正时，该点为极小值；当N是奇数且N+1阶导数为负时，该点为极大值；如果N是偶数，则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内，则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点，则这些不可导点也可能是极值

2.3 函数曲线的凹凸性和拐点、渐近线

2.3.1 拐点

拐点（英语：Inflection point）或称反曲点，是一条连续曲线改变凹凸性的点，或者等价地说，是使切线穿越曲线的点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点。

2.3.2 凹凸性

2.3.3 渐近线

• 极限趋近于无穷，则为垂直渐近线
• 极限趋近于常数，则为水平渐近线
• 极限趋近于直线方程，则为斜渐近线