NOIP 装箱问题

题目：[NOIP2001]装箱问题 ，哈哈，我们今天来看一道很古老的题嘛，这是选自NOIP上的一道题，好了，我们一起来看看题意吧：

考虑到直接复制题目，或者截屏的方式不是很方便阅读，我就把直接题目链接放下面！
题目传送门： [NOIP2001]装箱问题

思路:

写过01背包的老板看到这道题时，嘴角微微上扬，说，这还不简单,分分钟AC

但是,我这里用另一种动态规划的思路

先说说为什么要用动态规划吧：如果用暴力法的话（枚举每个物品装箱还是不装箱），时间复杂度会很高 O(2^n) , 我们需要降低时间复杂度。

举个例子：背包容量 20， 5个物品，体积分别为，1,2,2,4,5 ，若我们枚举每个物品放不放的话，时间复杂度是 2^5 ，我们思考下，可以发现我们放两个体积为2的物品和放一个体积为4的物品，对结果是没有影响的。 我们算出这些物品可以放出的体积有： 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 这里一共14次（不排除算错的可能哈），而暴力法的话，有32种情况。

我们采用动态规划的思想呢，时间复杂度为：物品个数*背包体积

我们来看看成功AC的代码吧：

二维数组版

#include
using namespace std;
int n,total;
int v[20010];
int f[35][20010];
int main(){
    f[0][0]=1;
    cin>>total>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];
    /**
     * f[i][j] 表示 0到i 的物品能否填满容量为 j 的背包
     */
     for(int i=1;i<=n;i++){
         for(int j=0;j<=total;j++){
             // f[i-1][j] 就表示前面 i-1 件物品能否填满容量为j的背包
             // f[i-1][j-v[i]] 表示前面 i-1 件物品能否填满容量为j-v[i]的背包
             if(j>=v[i]) f[i][j]=f[i-1][j]||f[i-1][j-v[i]];
             else f[i][j]=f[i-1][j];
         }
     }
     int ans=0;
     for(int i=total;i>=0;i--){
         if(f[n][i]==1){
             ans = i;break;
         }
     }
     cout<<total-ans;
    return 0;
}

我这里放一张雨巨的图，便于大家理解

我们可以看到每一行的结果实际上只与上一行有关，所以啊，我们可以压缩一下

压缩时有个坑：我们遍历体积的时候，需要从大到小去遍历，这样是为了防止让一个物品多次放入背包（这波操作真的很有意思）

下面我直接放代码

一维数组版

#include
using namespace std;
int n,total;
int v[20010];
int f[20010];
int main(){
    f[0]=1;
    cin>>total>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
         for(int j=total;j>=v[i];j--){
             f[j]=f[j]||f[j-v[i]];
         }
     }
     int ans=0;
     for(int i=total;i>=0;i--){
         if(f[i]==1){
             ans = i;break;
         }
     }
     cout<<total-ans;
    return 0;
}

谢谢你的阅读，希望能够帮助你更好的理解动态规划,由于作者水平有限，也难免有不足之处，若读者发现问题，还请批评，在留言区留言或者私信告知，我一定会尽快修改的。若各位大佬有什么好的解法，或者有意义的解法都可以在评论区展示额，万分谢谢。
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