还记得刚开始看到什么希尔伯特空间、巴拿赫空间中时，作为一个体育迷和运动爱好者脑中浮现的就是排球场和田径场，然后就是三维坐标构成的现实空间，但是为什么数学上又会有抽象空间，很长一段时间都未明白。后来学了群、环、域抽象代数结构，再重新复习了线性空间后再反过来才逐渐理解了各种不同的数学空间。对一个抽象系统赋予一个看得见、摸得着现实系统进行类比才更容易让人理解，鉴于这是一个如此重要又是许多人都没有明白概念，完全按照个人理解做了一个梳理。这里说的数学中的XX空间属于数学结构中的一个重要组成部分。但不存在单称为“空间”的数学对象。
一、 直观的基于体育运动对物理空间的理解
从美好体育开始，空荡排球场、田径场和泳池太没意思了，需要我们的婷婷（朱婷）在2、4号位强力边攻和后三的落地开花，百米跑道上要有博尔特的黑色闪电，需要philps这样的超级明星在泳池中比赛才有意义。还有，张景胤（中国男排边攻新秀）不能参加女排比赛，田径接力时不能掉棒等。抽象一下这个有意思场景。（1）需要有主角——朱婷、Bolt、Philps 这些运动明星。还有使用到的排球，可以称称之为对象。（2）然后，有一个运动场所——排球场、跑道、泳池；（3）运动明星在球场上打排球、在跑道跑步、在泳池中游泳。运动员需要在特定运动空间中比赛，就是对象在场所中运动。 （4）有了场地和运动员，对于不同运动项目，有哪些合规的运动形式——发、扣、拦、垫、传，跑、跳、游，当然，必须要遵循——后攻不能踩三米线，必须要在跑道内跑。球场\跑道的都是有边界的，这些都是运动必须要遵循的 规则。不同的运动项目有不同的 规则。 （5）成年女排网高2.24m，百米跑道有100m长，bolt百米世界纪录 9.58s，朱婷比郎平高，这些都是在时间、长度等概念下关于对象属性的定义。比赛结果有冠军、亚军、季军等，这些是对象间关系描述。都可以进行 测量 来描述。描述的对象，即可以是运动员个人，又可以是运动队或者是一个球队中的主力队员和替补队员两个群体，整体的一个子集也可作为一个对象来考虑。
通过上面描述，我们可以得出要描述一个完整运动空间，首先是运动员、队伍和TA们使用的运动器械，如排球等。是具有主动性的部分，可以作为对象 来进行标识。其次是运动场地、运动项目的专门规则，对象属性以及对象间关系描述，需要进行测量或比较实现才能实现。这个部分可以作为 环境 来描述。对象和环境共同构成了我们的运动空间。
1. 体育运动与数学空间的有趣类比
通过以上分析，空间可以理解为能容纳“对象”在一定“规则”下进行“运动”的“场所”的整体。 用更数学化的语言来说，空间是指一种具有特殊性质及一些额外结****构的集合[[[i]](#_edn1)]。两个定义的可以这样对应。“对象”就是“集合”及其中的元素。“场所”可以认为是“特殊性质”，“运动规则”和“元素描述”，统称为“额外结构”，特殊性质和额外结构统称为“环境”，环境决定了集合的“结构”。
根据以上的分析和定义，直接对运动空间和数学空间来一个一一对应。图 1 从运动空间到数学空间的变换
下图对体育运动和数学空间做了一个对应，可以帮助我们理解
1. 线性空间
现实生活中，线性关系是一种非常简单关系，许多时候，我们都会用线性关系来简化现实。同时，在经典力学中，加速度、动量等矢量都遵循叠加原理，这些都是线性关系的一个重要表现。因此线性关系是一个基础而又重要并且广泛存在的关系。
几种不同原因的综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和，这个原理称为叠加原理。满足这种要求的数学结构就是线性空间。先来回顾一下线性空间的定义。
线性空间：设V是一个非空集合，F是数域（指对加减乘除四则运算封闭的代数系统，约定0不能做除数）
给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：
· 向量加法 + : V + V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；
· 标量乘法 · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作 a ·u。
V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。
而集合V加上公理才构成一个向量空间（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：
（1）向量加法的结合律 u + (v + w) = (u + v) + w
（2）向量加法的交换律 u + v = v + u
（3）向量加法的单位元
存在一个叫做零向量的元素 0∈V，使得对任意 u∈V都满足 u + 0 = u
（4）向量加法的逆元素
对任意 v∈V 都存在其逆元素 −v∈V 使得v + (−v) = 0
（5）标量乘法与标量的域乘法相容 a(bv) = (ab)v
（6）标量乘法的单位元 域F存在乘法单位元1满足 1v = v
（7）标量乘法对向量加法的分配律 a(u + v) = au + av
（8）标量乘法对域加法的分配律 (a + b)v = av + bv
则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为向量。
2. 排球运动和向量空间类比
下面先以我们多数人第一次接触的抽象的数学空间/抽象结构——线性/向量空间为例来分析。见表格 1 排球运动和向量空间类比
对数学空间本身的构成也做一些总结：
在图 2 构建数学空间中可能涉及到的内容 中，对可能会出现对选项做了一个描述。有的数学空间可能只有其中的一部分。
在表格 2 排球运动和向量空间中，我们可以看到在线性空间“结构”的成员描述中，无论是度量与性质，还是元素间的关系都没有相应的定义。同时，也没有集合成员。其实，许多数学空间就是在某个特定数学空间中增加一些其他的结构（无论是元素取值/场所特点，还是运算规则/运动特点，还是元素描述/对象关系）或者是利用集合的成员来生成一些新的成员。形成一些新的空间。这就形成两个问题。1. 怎样定义一个有着具有普适性、尽量简单的，具有基础结构的数学空间。2. 在这个基础数学空间上怎样添加合适的规则和定义构造其他的空间。这是我们构造不同数学空间的重要方法。3. 怎样利用集合的元素导引出新的集合？通过这个方法也能得到大部分数学空间。
从抽象数学角度来说，数学中XX空间就是定义了一定结构（各种规则）的集合。如同排球运动的运动规则是人为设定的，数学中XX空间的运算规则也是人为定义的，也就是公设或者公理，这些公设都是有一定明确目的，不能违背基本的常识。如张景胤不能参加女排比赛，游泳比赛不能带脚蹼（否则就是潜泳比赛了），这些规则都是经过专门论证，保证了比赛的公正和有趣，数学空间在选择集合成员及制定规则时，也需要这样考量，否则得不到有趣有用的结构。
从以上分析中，我们还希望构造的特定数学空间是某个我们已经非常熟悉的具体的数学领域的内容的一个抽象，同时又是其他许多数学空间的。为此，我们选出几个基础而有重要的数学空间。最基本的含有结构的集合有三类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）、拓扑空间（集合的某个子集构成的族，满足任意并和有限交的封闭性）。这三个数学空间是极其重要的数学空间。需要专门说一下，然后可以将这三个空间要么将规则加在一起形成新的数学空间，或者再增加一些其他的限制条件，在继承中构造新的数学空间。另外，某些数学空间经过诱导后发现其还是其他空间。如任何度量空间的元素选择一个非空子集后，这些子集元素构成的任意集合形成“族”，可以生成一个拓扑，度量空间元素和其指定的拓扑构成一个拓扑空间等。
二、 重要的其他两个数学空间
1. 研究集合的原因
集合是数学的共同基础，因此，对集合的研究，可以直接对应到其他具体的领域，如分析、拓扑等。
集合比较简单，研究的只是交、并、差、属于、包含等关系，得到的结果是有限的，能做的事情还是太少，因此，需要在只有元素的集合中加入一定的“结构”，集合一下就丰富起来，能做的事就大大提升。这个结构就是运算。包括运算规则、元素描述、元素范围等。
数学空间就是加上了特殊运算规则的集合。该怎样加？既能让增加的运算有普适性，如齐次性、叠加性和度量性，还要尽量包容已经被证明行之有效的法则，从小学就熟悉的结合率、分配律、交换律等。还要能尽量简单，平衡普适性和有用性。
2. 度量空间
还是回到排球，扣球时最好能避开对方拦网运动员，二传传球时需要估计对方的起跳时间和位置，形成一个空门。这个过程就需要有一套可以“度量”两者之间距离的方法。可以认为是点和点之间的距离。
度量空间为一有序对 (M,d)，其中 M 为集合而 d 为在 M 上之度量(metric)，即为函数 d: M × M → ℝ
使对于任何在 M 内之 x、y、z，下列条件均成立：
d(x,y)d ( x , y ) ≥ 0 (非负性)
d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y d(x,y) = 0 ⟺ x = y (不可区分者的同一性)
d(x,y) = d(y,x) d ( x , y ) = d ( y , x ) (对称性)
d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (三角不等式)。
简略地来说，这个度量满足了几个简单的特性：
每个点和自己的距离为0，
任两点间的距离为正数，
从A到B的距离，等同于从B到A的距离，
从A到B的距离小于等于从A先经过C再到B的距离。
函数 d 亦称为“距离函数”或简称“距离”。若依上下文可知道使用的度量为何，通常会省略 d，只写出 M 为度量空间。
若不考量数学上的细节，对于任何道路系统与地形，两个位置间之距离可被定义为连接这些位置的最短路径之长度。度量内不应该存在单行道。三角不等式表示每个弯路都不会是最短路径。
在数学中，度量空间（英语：Metric space）是一个集合及其度量函数，定义了集合中任两个成员（通常我们称为“点”）间的距离这一概念。
对于数学空间来说，可度量化往往是一个最理想的性质，可为空间中一些定理的证明提供一个重要工具。
度量空间中最符合人们对于现实直观理解的为三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间距离为连接这两点线段长度。此外，也存在其他的度量空间，如椭圆几何与双曲几何，而在球体上以角度量测之距离亦为一度量。狭义相对论使用双曲几何的双曲面模型，作为速度之度量空间。
1. 拓扑空间
拓扑空间（英语：Topological space）
定义：集合X上的一个拓扑（topology）是X的子集的一个簇 ，它满足以下条件：
（1） ∅ 和X在 中（包含关系）.
（2） 的任意子族的元素的并在 中（任意并）.
（3） 的任意有限子族的元素的交在 中（有限交）.
一个指定了拓扑 的集合 X 叫做一个拓扑空间（topological space）
确切地说，一个拓扑空间就是一个有序偶对（X, ），其中 X 是一个集合， 是X 上的一个拓扑。在不至混淆的情况下，常常不专门提到 [[i]].
从定义可以看到，X 可以有多种可能的拓扑。
世锦赛一个排球队可以报14个人，每次上场是7个人，可以不同地选7个人，不同的组合就形成一个拓扑。排球队和不同的上场人员组合就形成了一个拓扑空间。
通过拓扑空间可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。
确定给定的两个拓扑空间是否同胚是拓扑学的基本问题之一，也就是经常形象化介绍拓扑学时用一个橡皮泥在不允许断开、挖洞、拼接情况下将一种形状（如实心圆环）连续变化为另一种形状（如有一个空洞把手的茶杯）。在这里不继续下去了。拓扑也主要研究拓扑空间中流形性质。
三、 常见重要不同数学空间的关系
对于想构造的数学空间，我们一般可以先创建一个相对简单的空间，然后，对某个数学空间的“集合”与“结构”增加（偶尔可以减少一些规定）一些内容。如“集合”的成员可以是普通元素，还可以是其他的集合。对某个数学空间增加其他的有趣“结构”，如对线性空间增加“度量”定义，使其可度量化。也可以因为某个空间的定义太宽泛，为了让其具有某个优良的性质，人为规定某些条件，如我们在算数运算中将除数为0的情况排除。通过对拓扑空间中任意两个点领域无交点规定，得到 Hausdorff 空间等。
1. 通过增加结构由简单空间向复杂空间递进
可以看到，线性空间中只是对象之间运动关系描述，如同我们还想了解朱婷扣球高度，百米赛道上上第二名落后第一名多少米，就需要加入其他标准，比如加入对向量长度、向量间夹角计量以及两个点之间的距离等。在线性空间中就是加入其他 “结构”（运算规则）进行限制，然后可以得到其他空间，得到更多的有趣数学空间。
线性空间简单，其具有的齐次性和叠加性在理论和实践上都具有重要作用，因此，以线性空间为基础，加上其他结构梳理一下我们常见的一些数学空间。见图 3 常见数学空间及关系
图 3 常见数学空间及关系
在上述构造中，是以线性空间和度量空间为核心展开的，因此出现了对线性空间减去一个“原点”这个条件限制的仿射空间。其实想想游泳比赛，主要是在游泳池中进行的，但是也可以在公开水域进行，他们都属于游泳比赛的正式项目。
后面的数学空间因为是增加了额外结构，故其继承了前面数学空间的特点。如赋范线性空间继承了向量空间的特点，但是还可以对向量测量长度而内积空间继承了赋范向量空间的特点，还可以测量两个向量的夹脚，而这个数据常常可以作为两个向量间相似度判定的依据。如在NLP中，把文本中的词映射为词向量，算二者的夹脚来判定两个词的相似度。
对于图 3中涉及的增加结构的数学空间不再详细说明，只对其增加的结构进行一个简单介绍。
范数：向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值，复数的模，三维空间向量的长度，都是抽象范数概念的原型。上述三个对象统一记为x，衡量它们大小的量记为‖x‖（用单竖线表示绝对值，双竖线表示范数）。
完备性：一般是在极限运算下定义的，即给定一个集合，如果该集合中的元素在极限运算下得到的结果还在该集合中，那么该集合就是完备，即从极限运算的角度看，这个集合没有空隙。 比如从极限角度看，有理数集是不完备的，充满了缝隙，因为很多有理数序列的极限值不是有理数，但实数集就完备了，当然要定义极限运算，必须先定义度量，所以完备性是在度量空间下定义的。在极限运算下是封闭，通过集合中中的任何柯西列都收敛来进行判断。
内积运算：内积将一对向量与一个标量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。
当然，以上只是列举了少部分重要数学空间，还有其他的大量数学空间。如函数空间、概率空间、样本空间等，在此不再详述，有兴趣的朋友可以去查询一下。
2. 已知某数学空间的部分可以生成另外的数学空间
拓扑空间是现代数学一个非常基本的结构，有着极其重要的理论和实际应用，因此，列举了几个空间的，从另外的一个角度构造数学对象，有不同的认识方式。
事实上，还有许多数学概念和数学结构都可以构造成一个拓扑空间，故以上把最容易理解的实数集也放进来了。
1. 其他的一些数学空间
以上是部分“数学空间”的一个关系总结，还有许多其他“数学空间”，一些非常重要或者有趣的数学空间。列举两个。
测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面积概念的推广，由一个基本的集合 X以及基于这集合的某些子集合所购成的一个新的集合 ，新集合会满足 σ-代数的性质，直觉的讲，对中的元素我们都可以用某种方法去“测量”其大小、面积或几率等，是一个非负实数。其真正意义要看所在空间 X上满足某些特别性质的(非负)函数 μ，也就是测度，测度空间就由这三部分， ( X , , μ )，所构成。测度空间的一个实例是概率空间。
数学空间中，甚至可以没有点！但是保留了构成点的开集，定义了结构（运算法则）。也就是说空间没有对象，是“空”的，但是有运动规则。这让人不由想起了 C# 语言中的抽象类，只有方法在其中，代入实例后就可以利用这个方法。那在这种特殊的没有点（元素）的空间中，当然可以只有运算规则（函数、关系、方法）定义了空间具有的结构，然后有点（元素）进来后运用这个规则就OK了。给排球比赛定义了规则，只要遵守了这些规则，任何人都可以来比赛，而且可以计算胜负，虽然奥运会上的比赛肯定比普通人打比赛要精彩太多，但都是在打排球。
对于根据其开子集描述的拓扑空间，对空间的观点是：重要的不是空间中的图形，而是可以在其上定义的函数。事实上，这表明了一个尚未解决的数学问题：连续性仅根据空间的子集来定义；功能的不同性或分析性是否仅仅是根据空间的适当子集而定义的？
这种对函数使用和不同类函数的强调，逐渐向数学家提出了一个激进的步骤：为什么不完全忘记空间的点，只用函数，从而得到一个“没有点的空间”呢？ 在我们所有早期的模型中，空间是由以某种方式连接在一起以使空间连续的点组成的——例如，由三角形、点坐标的方程、点之间的距离或由以下组成的开集组成点。 没有点，怎么可能有空间？
事实证明，可以有这样的空间； 它们被称为区域设置，表明它们由许多“本地”部分组成。它们通过丢弃点但保留开集及其所有包含关系来描述。在每个开集上——被认为是一个事物本身—— 我们还必须具有可以在该集合上定义的所有好的函数（例如，取决于上下文、连续函数、平滑函数或分析函数）。 此外，我们必须确切地知道定义在不同开集上的函数是如何组合在一起的。
从技术上讲，这相当于给出两个数据——将开集简单地标识为具有各种包含关系的“对象”，从而形成一个语言环境，并且对于任何给定的这种语言环境，考虑作为函数族的集合（每个函数的连续函数） 语言环境的对象，每个对象的分析对象，等等）。
我们现在已经到达了空间模型的最新类型——语言环境模型，其中仅根据区域及其包含关系（特别是它们的交集和并集）来看待空间。 与之前的案例一样，这种空间观的变化引发了各种争议，其中最引人注目的与数学的基础有关。
随着1960年代“新数学”的兴起,强调数学中的一切（空间、数字、计算等）可以严格地简化为集合。 现在这个想法已经出现了理论可以被层论取代：数学的基本对象不是由元素组成的集合，而是在一些未指定的空间或区域上的函数层。这提出了一个具有几何风格的数学基础，取代了通常的分析。 这种方法还没有争议。 它的支持者声称集合论已经过时，而古典逻辑学家仍然声称一切都是并且应该由集合定义[[i]]。
四、 研究数学空间的必然性
现代数学的一个特点就是以集合为研究对象（尽管有人提出数学研究的是一些未指定的空间或区域上的函数层，但我们还是以集合论为数学的共同基础），这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。 数学研究的基本方法，一个是抽象，一个是推广。抽象和拓展外推体现的巨大威力。另外，我们希望能够一次解决大量问题，就需要在更本质的基础上进行分类，数学从某种意义上也是一种分类，在不同的“空间”中，不管你是什么元素（点）、对象，在同一个空间中它们都具有一样的运动性质，一下就让许多不同领域问题都一起解决，是一种分类。同态、同构将不同集合“等同”起来，也是一种分类。这远远优于一次解决一个问题的方法，这就是当代数学之所以越来越抽象、但是使用范围却越来越广原因所在。分类的标准也就是我们添加不同运算法则的依据。
通过定义数学空间可以达到以上目标。而合适的定义需要考虑以下两点，1. 希望定义能有尽可能广泛的包容性，让许多其他结构都作为其特例。 2. 又希望定义尽可能的狭窄，其他属性空间中的标准定义对于本结构也能够成立。恰如其分地构造定义和结构。具有越多额外的结构能够证明出越多定理来，但却会减少一般性。数学家会在一般性的程度与理论的丰富性间寻求出一个平衡。
抽象的数学空间有哪些作用呢？
索博列夫空间研究微分方程的解的恰当的空间
内积空间有多种良好的性质，是刻画、分析并解决数学中不少问题的工具
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公设化数学和量子力学的关键性概念之一。
一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个复希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学表述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）
现代数学研究的是结构，除了我们前面说的各种数学空间是一个“结构”外，可以做一个梳理如下：
最重要的两种结构就是群和拓扑结构，现代数学的许多概念的构建都可以从他们出发。
[[i]] Lane, Saunders Mac. “Mathematical Models of Space.” American Scientist, vol. 68, no. 2, 1980, pp. 184–91. JSTOR, http://www.jstor.org/stable/29773730. Accessed 31 Aug. 2022.
[[i]] [美国]James R.Munkress . 拓扑学[M]. 熊金城,吕杰,谭枫 . 北京:机械工业出版社,2006: 58-59
[[i]] https://zh.m.wikipedia.org/zh-hans/%E7%A9%BA%E9%97%B4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)