Pareto 问题详解

1 Pareto

1.1 Pareto 问题

​ Pareto最优解，也称为帕累托效率（Pareto efficiency），是指资源分配的一种理想状态，假定固有的一群人和可分配的资源，从一种分配状态到另一种状态的变化中，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。帕累托最优状态就是不可能再有更多的帕累托改进的余地；换句话说，帕累托改进是达到帕累托最优的路径和方法。 帕累托最优是公平与效率的“理想王国”。

​ Pareto解 又称非支配解或不受支配解（nondominated solutions）如果对于一个决策变量，不存在其他决策变量能够支配他，那么就称该决策变量为非支配解。 在有多个目标时，由于存在目标之间的冲突和无法比较的现象，一个解在某个目标上是最好的，在其他的目标上可能是最差的。这些在改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数的解称为非支配解或Pareto解。一组目标函数最优解的集合称为Pareto最优集。最优集在空间上形成的曲面称为Pareto前沿面。Pareto 在1986 年提出多目标的解不受支配解(Non-dominated set)的概念，其定义为：假设任何二解S1及S2对所有目标而言，S1均优于S2，则我们称S1 支配S2，若S1没有被其他解所支配，则S1 称为非支配解（不受支配解），也称Pareto解。

​ Pareto等级：在一组解中，非支配解Pareto等级定义为1，将非支配解从解的集合中删除，剩下解的Pareto等级定义为2，依次类推，可以得到该解集合中所有解的Pareto等级。示意图如下图所示。

举例1：
假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕，并且两个人都喜欢吃蛋糕。10块蛋糕无论在两个人之间如何分配，都是帕累托最优，因为你想让某一个人拥有更大利益的唯一办法是从另一个人手里拿走蛋糕，导致的结果是那个被拿走蛋糕的人利益受损。
举例2：
假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕10个包子。甲喜欢吃蛋糕而乙喜欢吃包子，而且甲讨厌吃包子，乙讨厌吃蛋糕（甲包子吃得越多越不开心，乙蛋糕吃得越多越不开心）。这种情形下，帕累托最优应当是：把10块蛋糕全部给甲，把10个包子全部给乙。因为任何其他的分配都会使得至少一个人手里拿着一些自己讨厌的东西，比如甲拥有10块蛋糕以及2个包子，乙拥有8个包子。这个时候，如果把2个包子从甲的手里转移到乙的手里，甲和乙都变得比原来更开心了，同时这样的转移并不会使得任何一方的利益受损。
举例3:
如果汽车A价格30万，外观A等，性能A等；汽车B价格40万，外观A-等，性能A-等，就说汽车A支配了汽车B。如果有一辆汽车C价格20万，外观B等，性能B等，相较于汽车A，虽然C的外观和性能都比汽车A要差，但是其价格上比汽车A要低，从价格这个评价标准上来看，汽车C是要优于汽车A的，所以说汽车C和汽车A是属于一个非支配的关系。即 当A所有目标都优于B时，就说A支配了B，否则A和B就是一个非支配的关系 ，而在NSGA-II中，种群中所有不被任何其他解支配的解构成了非支配前沿(Pareto最优解)

---

1.1.2 Pareto Improvement

​ Pareto改进 (Pareto Improvement)是指一种变化，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。一方面，帕累托最优是指没有进行Pareto改进的余地的状态；另一方面，Pareto改进是达到帕累托最优的路径和方法。

---

1.1.3 Pareto Front

​ Pareto解的集合即所谓的Pareto Front。在Pareto front中的所有解皆不受Pareto Front之外的解（以及Pareto Front 曲线以内的其它解）所支配，因此这些非支配解较其他解而言拥有最少的目标冲突，可提供决策者一个较佳的选择空间。在某个非支配解的基础上改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数。

---

1.1.4 Pareto Analysis

​ Pareto Analysis即为帕累托分析法又称为ABC分类法，也叫主次因素分析法，是项目管理中常用的一种方法。它是根据事物在技术和经济方面的主要特征，进行分类排队，分清重点和一般，从而有区别地确定管理方式的一种分的方法。由于它把被分析的对象分成A、B、C三类，所以又称ABC分类法。ABC分类法是由意大利经济学家帕雷托首创的。1879年，帕累托研究个人收入的分布状态图是地，发现少数人收入占全部人口收入的大部分，而多数人的收入却只占一小部分，他将这一关系用图表示出来，就是著名的帕累托图。该分析方法的核心思想是在决定一事物的众多因素中分清主次，识别出少数但对事物起决定作用的关键因素和多数的但对事物影响较小的次要因素。后来，帕累托法被不断应用于管理的各个方面。1951年，管理学家戴克（H.F.Dickie）将其应用于库存管理，命名为ABC法。1951年—1956年，朱兰将ABC法引入质量管理，用于质量问题的分析，被称为排列图。1963年，杜拉克（P.F.Drucker）将这一方法推广到全部社会现象，使ABC法成为企业提高效益的普遍应用的管理方法。

在ABC分析法的分析图中，有两个纵坐标，一个横坐标，几个长方形，一条曲线，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，以百分数表示。横坐标表示影响质量的各项因素，按影响大小从左向右排列，曲线表示各种影响因素大小的累计百分数。一般地，是将曲线的累计频率分为三级，与之相对应的因素分为三类：
A类因素，发生频率为70%～80%，是主要影响因素。
B类因素，发生频率为10%～20%，是次要影响因素。
C类因素，发生频率为0～10%，是一般影响因素。

这种方法有利于人们找出主次矛盾，有针对性地采取措施。

ABC法大致可以分五个步骤：

（1） 收集数据，针对不同的分析对象和分内容，收集有关数据
（2） 统计汇总
（3） 编制ABC分析表
（4） ABC分析图
（5） 确定重点管理方式

---

1.2 Pareto 解

1.2.1 解A优于解B (解A强 Pareto 支配解B)

• 概述

  假设现在有两个目标函数，解A对应的目标函数值都比解B对应的目标函数值好，则称解A比解B优越，也可以叫做 解A强帕累托支配解B ，举个例子，就很容易懂了

  下图中代表的是两个目标的的解的情况，横纵坐标表示两个目标函数值，E点表示的解所对应的两个目标函数值都小于C，D两个点表示的解所对应的两个目标函数值，所以解E优于解C,D.

• 理解
  强 Pareto 支配的意义在于比如两个问题的解, 解A 在目标约束函数 $f_1{f}_2(约束全集)$ 上的值都优越于 解B。 也即假如解A在所有约束函数上的值都优越于解B, 那么我们就称解A 强Pareto支配 解B。

---

1.2.2 解A无差别于解B(解A能 Pareto 支配解B)

• 概述

  同样假设两个目标函数，解A对应的一个目标函数值优于解B对应的一个目标函数值，但是解A对应的另一个目标函数值要差于解B对应的一个目标函数值，则称解A无差别于解B，也叫作解A能帕累托支配解B，举个例子，还是上面的图，点C和点D就是这种情况，C点在第一个目标函数的值比D小，在第二个函数的值比D大。

• 理解

  Pareto支配 的约束力显然要小于强Pareto支配, 它的约束在于解A 在某个约束函数上优于解B, 那么就称 解A 可Pareto支配 解B。

---

1.2.3 最优解与Pareto 最优解

1) 最优解

​ 假设在设计空间中，**解A对应的目标函数值优越其他任何解，**则称解A为最优解，举个例子，下图的$x_1$就是两个目标函数的最优解，使两个目标函数同时达到最小，但是前面也说过，实际生活中这种解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最优解

---

2) Pareto 最优解

同样假设两个目标函数，对于解A而言，在 变量空间 中找不到其他的解能够优于解A（注意这里的优于一定要两个目标函数值都优于A对应的函数值），那么解A就是帕累托最优解，举个例子，下图中应该找不到比 $x_1$ 对应的目标函数都小的解了吧，即找不到一个解优于 $x_1$ 了，同理也找不到比 $x_2$ 更优的解了，所以这两个解都是帕累托最优解，实际上， $x_1,x_2$ 这个范围的解都是帕累托最优解。因此对于多目标优化问题而言，帕累托最优解只是问题的一个可接受解，一般都存在多个帕累托最优解，这个时候就需要人们自己决策了。

3) 理解

​ Pareto最优解 是取得最贴合约束函数要求的 范围值, 它并不唯一。

---

1.2.4 Pareto 最优前沿

• 概述

  还是看 刚才 那张图 ，如下图所示，更好的理解一下帕累托最优解，实心点表示的解都是帕累托最优解，所有的帕累托最优解构成帕累托最优解集，这些解经目标函数映射构成了该问题的Pareto最优前沿或Pareto前沿面，说人话，即帕累托最优解对应的目标函数值就是帕累托最优前沿。

对于两个目标的问题，其Pareto最优前沿通常是条线。而对于多个目标，其Pareto最优前沿通常是一个超曲面。

• 理解

  Pareto 最优前沿 也即 Pareto 最优解组成的区域, 根据目标数目的不同, 前沿可能是一条线、曲面、立体区域。

---