P5431 【模板】乘法逆元 2

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原题链接

P5431
AC记录：Accepted

题目大意

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，求它们在模 $p$ 意义下的乘法逆元。
由于输出太多不好，所以将会给定常数 $k$，你要输出的答案为：
$$\sum _{i=1}^n\frac{k^i}{a_i}$$
答案对 $p$ 取模。

输入格式

第一行三个正整数 $n,p,k$，意义如题目描述。
第二行 $n$ 个正整数 $a_i$，是你要求逆元的数。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案。

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{I}\mathbf{n}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

6 233 42
1 4 2 8 5 7

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

91

$\mathbf{H}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{t}\&\mathbf{E}\mathbf{x}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{i}\mathbf{n}$
自己手推吧。

数据范围

对于$30\%$的数据，$1\le n\le 10^5$。
对于$100\%$的数据，$1\le n\le 5\times 10^6,2\le k<p\le 10^9,1\le a_i\le p$，保证 $p$ 为质数。

解题思路

$\text{⚠ 警告}\text{此题时间限制仅有550ms!}$
出题人还算良心吧，就比乘法逆元 只多了50ms 。
顺便推销一下我写的乘法逆元的博客。

解法

这次我们要用 阶乘求逆元 。
我们设 $mu{l}_i$ 为前 $i$ 个数字的乘积，$invmu{l}_i$ 为 $mu{l}_i$ 的逆元。
而题目里面的式子说是 $\sum _{i=1}^n\frac{k^i}{a_i}$，是 $k^i$ 和 $\frac{1}{a_i}$ 也就是 $a_i$ 的逆元的乘积。那么如何求单个元素 $a_i$ 的乘积呢？
我们知道，$invmu{l}_i=\frac{1}{a_1\times a_2\times \cdots \times a_i}=\frac{1}{a_1\times a_2\times \cdots \times a_{i-1}}\times \frac{1}{a_i}$，所以我们只要消掉 $\frac{1}{a_1\times a_2\times \cdots \times a_{i-1}}$，即乘上 $mu{l}_{i-1}$，就可以求出 $a_i$ 的逆元。由此可得
$$\frac{1}{a_i}=invmu{l}_i\times mu{l}_{i-1}$$
然后就可以线性求逆元啦。
最后，还有一个优化，就是秦九韶算法，循环时，要 从大到小 循环，而每一次处理答案，只需要把答案乘 $k$ 就可以了。
而 $invmu{l}_n$ 可以由费马小定理求出，即 $invmu{l}_n=(mu{l}_n{)}^{p-2}$。

上代码

#include

#define endl '\n'

using namespace std;

#define int long long

int mul[5000010];
int a[5000010];
int n,p,k;

int power(int a,int b,int p)
{
    int tar=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            tar=(long long)(tar*a)%p;
        a=(long long)(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return tar;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    /* Code */
    cin>>n>>p>>k;
    mul[0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i],mul[i]=1ll*mul[i-1]*a[i]%p;
    int invmul=power(mul[n],p-2,p);//算invmul[n]
    int tar=0;
    for(int i=n; i>=1; i--)
    {
        int invai=1ll*invmul*mul[i-1]%p;//求ai的逆元
        tar=1ll*(tar+invai)*k%p;//秦九韶算法
        invmul=(1ll*invmul*a[i])%p;//算invmul[i-1]
    }
    cout<<tar<<endl;
    return 0;
}

完美切题$\sim$