4 自动微分 Automatic Differentitaion

计算图 Computational Graph

• 图上的每个节点代表一个中间值
• 边事输入输出的关系

forward 求导 forward mode AD

上图中从前向后，一步一步计算每个中间值对 x1的偏导，那么计算到 v7，就得到了整个函数对于 x1的偏导。

有limitation

• 对一个参数 xi 运行一次可以得到这个参数，可以得到多个输出对参数xi的求导结果。
• 当参数比较少，输出比较多时，使用这个方法比较好
• 但是，大多数情况下，我们仅仅有一个输出 loss，但是会有很多参数
• 有n个参数，需要运行n次forward求导

Reverse Mode AD 求导

反向求导，实际上事对链式法则的运用

$$\overline{v_1}=\frac{\partial y}{\partial v1}=\frac{\partial y}{\partial v_i}\frac{\partial v_i}{\partial v1}=\frac{\partial y}{\partial v_i}\frac{\partial v_i}{\partial v_{i-1}}\frac{\partial v_{i-2}}{\partial v1}=\frac{\partial y}{\partial v_i}\frac{\partial v_i}{\partial v_{i-1}}\frac{\partial v_{i-2}}{\partial v_{i-3}}...\frac{\partial v_2}{\partial v1}$$

其中很多的中间结果可以被重用，就减少了我们的很多开销。

• 每个节点接收到上游传来的偏导，如节点 $v_i$ 的偏导$\overline{v_i}=\frac{\partial y}{\partial v_i}$ 来自于上游偏导的输出
• 每个节点根据下游节点，求一个 partial adjoint $\overline{v_{i\to j}}=\overline{v_j}\frac{\partial v_j}{\partial v_i}$ 再传给下游节点

对于有多个上游节点的情况，会得到多个上游节点的梯度，如何处理？

$$\overline{v_i}=\sum _{i\in next(i)}\overline{v_{i\to j}}$$
下游节点将上游传来的所有偏导相加 （partial adjoint 我没有很好的翻译方式）

下面有证明;