高数笔记01：函数、极限、连续

图源：文心一言

本文是我学习高等数学第一章的一些笔记和心得，主要介绍了函数、极限、连续这三个基本概念，以及它们的性质和很基础的计算技巧。希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~

• 第1版：查资料、画导图、归纳题型~

参考用书1：《高等数学》同济大学数学系编

参考用书2：《高等数学 基础篇》武忠祥

参考用书2配套视频：武忠祥·高等数学·基础课（24考研适用）

审核：BING AI

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目录

目录

思维导图

函数

基本介绍

题目归纳

极限

基本介绍

题目归纳

解答题思路扩展

方法一：基本极限+等价无穷小公式法

方法二：有理运算法则

方法三：洛必达法则

方法四：泰勒公式

连续

基本介绍

题目归纳

结语

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思维导图

• 思维导图为整理同济教材、武老师基础教材所整理函数、极限、连续的内容~

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函数

基本介绍

函数是一种描述变量之间关系的数学模型，它可以用公式、图像、表格等方式来表示。函数的基本要素有定义域、值域、函数值、函数关系等。

我们常见的函数有以下几种类型：

• 初等函数：由常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本函数经过有限次的四则运算和复合运算而成的函数。初等函数具有简单的表达式和性质，是高等数学中最常用的一类函数。
• 分段函数：由若干个子函数按照不同的区间组合而成的函数。分段函数可以用来描述一些不连续或者不光滑的现象，比如信号、跳跃等。
• 反函数：由原来的因变量作为自变量，原来的自变量作为因变量而构成的新函数。反函数可以用来求解方程或者研究原函数的性质。
• 复合函数：由两个或多个函数按照一定的顺序相互嵌套而成的新函数。复合函数可以用来表示一些复杂的变化过程或者关系。

我们在研究函数时，通常需要判断以下几个方面：

• 有界性：判断一个函数在某个区间内是否存在上界或下界，即是否能够被一个确定的数值所限制。有界性可以反映一个函数变化的范围和幅度。
• 奇偶性：判断一个函数是否满足f(-x) = f(x)（偶函数）或者f(-x) = -f(x)（奇函数）这样的对称性质。奇偶性可以反映一个函数在坐标轴上的对称图形。
• 单调性：判断一个函数在某个区间内是否单调递增或者单调递减，即是否随着自变量增大而增大或者减小。单调性可以反映一个函数变化的趋势和方向。
• 周期性：判断一个函数是否满足f(x+T) = f(x)（周期为T）这样的重复性质。周期性可以反映一个函数变化的规律和频率。

题目归纳

选填题目类型1，判定初等函数有界性、奇偶性、单调性、周期性：

• 有界性、奇偶性、单调性、周期性：根据函数的定义、性质与公式判定，可参考思维导图罗列的基本公式；其中单调性可以根据求导判断。
• 特值法：选填题目遇到抽象函数的性质与公式时，可以根据某些特殊的自变量取值来验证或者否定某种性质。

 选填题目类型2，求反函数、复合函数，可能以指数函数、对数函数、分段函数命题：

• 指数函数、对数函数求反函数、复合函数时，根据指数函数、对数函数的基本运算法则判断，可以参考帆哥数学的博文：指数对数幂函数，基础有问题就看这篇！；
• 分段函数求反函数、复合函数时，注意定义域与值域的变化：反函数通常需要交换定义域与值域，复合函数因变量的值域与中间变量的定义域可能需要取交集。

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极限

基本介绍

极限是一种描述变量趋向于某个特定值时，函数值的变化趋势的数学概念，它可以用来研究函数的性质和变化规律，也可以用来逼近一些复杂或者无法直接计算的函数值。极限的基本要素有自变量、函数值、趋向值、极限值等。

我们常见的极限有以下几种类型：

• 数列极限：当自变量是一个正整数序列时，函数值构成的序列称为数列，数列的极限就是当自变量趋向于无穷大时，函数值的变化趋势。数列极限可以用来表示一些离散的现象或者过程，比如抛硬币、递推公式等。
• 函数极限：当自变量是一个连续变量时，函数值构成的集合称为函数，函数的极限就是当自变量趋向于某个确定的值或者无穷大或者无穷小时，函数值的变化趋势。函数极限可以用来表示一些连续的现象或者过程，比如曲线、曲面等。
• 无穷小：当自变量趋向于某个确定的值或者无穷大或者无穷小时，函数值趋向于零的那个函数值称为无穷小。无穷小可以用来表示一些微小的变化或者误差，也可以用来比较不同函数在同一点处的变化速度。
• 无穷大：当自变量趋向于某个确定的值或者无穷大或者无穷小时，函数值趋向于正无穷或者负无穷的那个函数值称为无穷大。无穷大可以用来表示一些巨大的变化或者结果，也可以用来比较不同函数在同一点处的变化幅度。

题目归纳

选填题目类型1，求函数的极限，此处可能以幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数命题：

• 需要掌握无穷小的比较、无穷大的比较、间断点求极限，可参考思维导图整理；
• 需要掌握函数的基本性质，例如指数函数e^(x)，其正无穷是无穷，负无穷是0；部分三角函数、反三角函数函数是有界性的。

解答题目类型1，求极限：

• 基本极限+等价无穷小公式法：利用已知的公式或者定义直接计算或者推导出结果；
• 有理运算法则：利用极限的性质和运算法则来化简或者分解复杂的极限表达式；
• 洛必达法则：利用导数来求解一些分子分母都趋向于零或者无穷的极限表达式。
• 泰勒公式：利用多项式来逼近一些复杂或者难以直接计算的函数值。
• 极限存在准则1夹逼定理：利用两个已知极限相等且夹住目标极限的函数来求解一些难以直接计算或者化简的极限表达式，基础的解题类型为求解一些分母为非齐次幂级数相加或者根号内幂次相加的极限表达式，可以参考喻老的博文：为啥我非常厌恶夹逼准则 - 知乎 (zhihu.com)
• 极限存在准则2单调有界：利用数列单调且有界这一充分条件来判断数列是否存在极限，并利用上下确界来求解极限值。可能结合到很多无穷级数的知识点与解题技巧，因此在本篇暂不作介绍，最基础的题型可以参考破天学长的博文：单调有界准则考点的万能解法之一——数学归纳法 - 知乎
• 定积分法：基础的解题类型为利用定积分定义来求解一些分母为齐次幂级数相加或者对数的极限表达式。可能结合到很多定积分的知识点，因此在本篇暂不作介绍，可以参考教书匠宝刀君的博文：利用定积分定义求极限的原理与套路，你会了吗？ - 知乎 (zhihu.com)

备注：虽然有搬运匠的嫌疑，但是讲清楚一种类型的数学题，并且附上例题需要花费的时间太长了~笔者目前挣扎在deadline，和计组battle且处于逆风局，在有限的时间内很难比以上博主整理得更严谨透彻了~~

解答题思路扩展

方法一：基本极限+等价无穷小公式法

重要极限1：

重要极限2：

重要极限2推论1：

重要极限2推论2：

等价无穷小1：

等价无穷小2：

等价无穷小2推论：

等价无穷小3：

等价无穷小4：

等价无穷小4扩展：

重要极限1证明简述：

利用夹逼准则，在x→0时，利用角度为x的单位圆可证有sinx < x < tanx，三个变量同除sinx得出极限。可参考KanadeM博文：两个重要极限及其推导过程_两个重要极限的证明_KanadeM的博客-CSDN博客

重要极限2证明简述： 

关于这个定理的证明感兴趣的小伙伴可以翻阅高数教材，或参考大脑壳家电团的博文：两个重要极限 - 知乎 (zhihu.com)

• 数列单调：以数列的方式展开函数，根据牛顿二项公式展开两项数和的整数幂公式，比较得数列< 数列，证明数列单调增加；
• 数列有界：由数列< 数列，采用缩放，当n为正整数时，，可以求出上界为接近于3但是小于3的数，将它命名为e；
• 函数有界：夹逼准则，替换底数的分母及指数的数字，分别求两端极限得e。

重要极限2经典错误备注：

因此n趋向于无穷时，幂指函数 底数与指数均趋向无穷，因此不等于1，而是1/e，化简时需要注意~

重要极限2推论2证明简述：

• 使用条件：趋向于0，且；
• 证明简述：将指数位同时乘除，利用重要极限2化简可证；

重要极限2的函数图形：

 重要极限2推论1的函数图形：

 等价无穷小证明简述：

• 
  • 本行使用重要极限1 sinx/x 可证；
• 

  • 使用对数运算法则将分母x看作因式1/x移到指数位，真数使用重要极限2可化简；

  • 对指代换t = ln(1+x)，并使用本行公式1可证；

  • 分子分母同乘aln(1+x)，并使用本行公式1可证；

• 

  • 要求a(x)趋向于0，且a(x)b(x)趋向于0；

  • 左侧指数因数化为以e为底的对数，代入上一行公式2化简为b(x)ln[1+a(x)]；

  • 代入上一行公式1化简为a(x)b(x)；

• 
  • 证明，呃，太难了根本看不懂；
• 
  • 泰勒公式可证；
• 
  • 反三角函数代换 t = sin(x)可证。

 注意：部分题目，尤其是涉及到天坑函数的题目，计算时极限值可能需要分开讨论~

• 反函数、分段函数：可能会有间断点，端点、间断点可能需要区分左右极限讨论；
• 指数函数、反正切余切三角函数：+∞、-∞是不一样的，如果配合反函数，那么0+、0-甚至也是不一样的；
• 根号函数、绝对值函数：x趋向于-∞或者-0时，提x可能需要带负号；

 举栗：反函数、幂函数、指数函数的集合体，这个函数在x趋于0+与x趋于0-，不仅指数有变化，底数也有变化。

• 函数在0+时，属于1∞型，根据重要极限计算结果趋向于e；

• 函数在0-时，由于底数小于0，因此没有定义，在区间[-1，0）点时由于底数（1+1/x ≤ 0），可能都没有定义。

方法二：有理运算法则

法则1：存在，lim{g(x)}=0，则lim{f(x)}=0；

法则2：，lim{f(x)}=0，则lim{g(x)}=0.

适用：已知极限存在，反求参数的题目。

例题：2018年数三15题2018考研数学三真题及解析 - 知乎 (zhihu.com)

方法三：洛必达法则

定理

设：

• 在x0处，f(x)与g(x)的极限趋向于0（或无穷）；
• 在x0的某去心领域内，f(x)和g(x)可导，且g(x)的导数不能为0；
• 存在（或无穷）

则：

证明简述：柯西中值定理，令函数值的区间（x,x0）的端点x→x0可证。

• 适用范围：理论上关于无穷小的7种情况都可以直接或者间接的化简，个人觉得实际上主要用于幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数这种求导以后能使变简单的函数，而指数求导这种会比较考验技巧性~
• 

注意： 题目为n阶可导时，求导只能求n-1次{尤其是抽象函数，无法保证求到最后一次是否依然为0/0或∞/∞型，且无法判断函数在去心领域内是否可导}，最后1次选用其它方式化简；题目为n阶连续可导时，求导通常可以求n次。

方法四：泰勒公式

 定理：泰勒的基本思想是利用多项式的加、减、乘运算逼近复杂函数的函数值。求极限时我们通常使用x0趋向于0点的带有佩亚诺余项公式的泰勒公式{因此下面不是泰勒的原公式，而是代入x0=0后的化简版本}：

如果f(x)在处具有n阶导数，那么存在的一个领域，对于该领域内任一x，有

证明简述：

• 以上不是定理，均是公式，求导后代入泰勒可证；cos(x)也可由sin(x)求导可证；
• 最后一项是牛顿的二项式定理。

适用范围：个人觉得在解题研时我们还是在求0/0型居多，将复杂函数化为多项式，尤其用于三角函数、指数函数以及极限加减分式居多{虽然泰勒公式在理论上可能使用范围要广得多}。

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连续

基本介绍

连续是一种描述函数在某个点处是否存在突变或者断裂的数学概念，它可以用来判断一个函数是否光滑或者可导，也可以用来研究一个函数在某个区间内是否存在最大值或者最小值。连续的基本要素有自变量、函数值、左右极限等。

题目归纳

选填题目类型1，连续性的概念、间断点及其分类：

• 判断是否有分段点、无定义点，例如分母为0、ln0等；
• 判断其左、右极限是否存在；若不存在，属于二类间断点；
• 判断其左、右极限是否相等；若不相等，属于一类跳跃间断点；
• 判断该点函数值是否与其左、右极限相等；若不相等，属于一类可去间断点；若相等，属于连续。

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结语

对了，分享一下我在这篇博文中用到的宝藏网页，并且在内心向开发网页的大佬表达谢意~

• 公示预览：在线LaTeX公式编辑器-编辑器 (latexlive.com)
• 图形绘制：图形计算器 - GeoGebra

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