树状数组讲解

现在我们有一个数组，我们需要为这个数组写两个函数。（且需要处理上百万的数据）

•  修改数组中某一个元素的值
• 求出前 n 个元素的和

我们很容易想到使用暴力遍历 [1, n] 的元素并求和写出。

本文到此结束。

但是太暴力了。在百万的数据量面前显得太不合适了。

有人可能想着这样去优化：

把数据两两求和，保存在另一个数组里面，用空间换时间。如果求某 n 个元素的和，我们就可以把时间优化为 n/2 ，节省一半的时间。而且在修改某一个元素时，也只需要多修改一个数字而已。

但是这样子还是很慢。我们可以多建几层，将元素两两求和。一直计算直至只剩下一个元素为止 ，线段树由此而来

但是我们计算时发现，在这一棵树里面，还有很多的数据没有用上，比如

 这些数据在计算时，完全不会使用到，因为有比他们更加好的选择，比如在计算 n = 7 时，只需要将红色圈圈里面的值相加即可得到。

 发现一些没有用的数据之后，我们将这些没用的数据去除，得到了以下结果。

通过观察我们发现，剩下的数据个数刚好为 n 个，也就是最开始的数组大小，这  就是一棵树状数组。

上面数组的每一个元素都代表着一个底下的区间，而下面每一个区间都代表着一段区间的和。求和时，我们只需要找到对应的区间，将区间求和即可

求和之前已经展示过 n = 7 的求和了。而在修改时，需要将上层的每一个区间修改。比如修改 n = 6这个元素。

接下来是Java代码。

看上去很复杂吧，需要每次都找到对应的区间，感觉找到这些规律都复杂的不得了，但是代码如下

    private static int bitlow(int x) {
        return x & -x;
    }

没错，这就是找到对应区间的代码。

// lowBit函数会求出一个二进制数字的最低位代表哪个数字
// 如 100010  这个二进制数的 lowBit -> 2，因为二进制最后的 1 在倒数第二位
static int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

这样去计算，就发现

 lowbit 值刚好等于区间对应的长度，为我们修改值时找上面一个区间提供了非常便捷的方法，只要加上 Lowbit 的值，就可以直接找到上面的区间对应的下标。在求和时，也只需要减去 lowbit 值就可以找到需要添加的区间对应的下标。

完整代码

public class Main {

    static long[] b;
    static int N;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        N = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt(), x, y, t;
        b = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            add(i, sc.nextInt());
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            t = sc.nextInt();
            x = sc.nextInt();
            y = sc.nextInt();
            if (t == 1)
                add(x, y);
            else
                System.out.println(count(y) - count(x - 1));
        }
    }

    // lowBit函数会求出一个二进制数字的最低位代表哪个数字
    // 如 100010  这个二进制数的 lowBit -> 2，因为二进制最后的 1 在倒数第二位
    static int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }

    static void add(int p, int k) {
        while (p <= N) {
            b[p] += k;
            p += lowbit(p);
        }
    }

    static long count(int p) {
        long result = 0;
        while (p > 0) {
            result += b[p];
            p -= lowbit(p);
        }
        return result;
    }
}

看到这里还不懂我推荐我当时看的视频，真的超级丝滑

【五分钟丝滑动画讲解 | 树状数组】