计算机为什么要使用原码、反码、补码

1. 什么是原码、反码、补码

先看一个例子: +1和-1的原码、反码、补码的表示

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

原码、反码、补码的计算方式如下:
原码:原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值。
反码:正数的反码是其本身。负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反。
补码:正数的补码就是其本身。负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1。

2. 为什么要使用原码、反码、补码

从原码、反码、补码的表示方式不难看出,原码才是人眼最直观能看出值的表示方式,那么为什么还要有反码和补码呢?
答案是为了简化计算机集成电路的设计
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位,,在计算的时候我们会根据符号位,,选择对真值区域的加减。但是对于计算机,,加减乘数已经是最基础的运算,,要设计的尽量简单.。计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂,于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。此外,由于现阶段计算机CPU擅长做加法运算,CPU硬件实现减法要复杂得多,而且运算效率很低,所以我们偷懒只讨论加法运算。说不定以后发明了减法加速硬件,那就另当别论了。

2.1 为什么要有反码

于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法。 首先来看原码: 计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算,显然对于减法来说, 结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的.

2.2 为什么要有补码?

2.1 发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的。 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。
于是补码的出现,,解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中,,[1000 0000]补 就是-128.。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127, +127],而使用补码表示的范围为[-128, 127]。

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] 因为第一位表示的是符号位。而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

总结一下:

  1. 为什么要有反码? 为了解决原码做减法的问题
  2. 为什么要有补码? 为了解决0有两个编码的问题,多出的一个编码用与多表示一个最低位

问题

  1. 有了补码,反码还有作用吗?
    可能真的没什么作用了,只是作为原码到补码的过度状态 ?可以简单地理解为原码到补码是一个层层递进的关系,也是一个在错误中逐步发展的过程。也就是说利用原码运算减法时出现的错误,为了解决出现了反码运算,但是反码运算时又出现了让人不满意的地方,于是为了更好的追求出现了补码。

参考自:

原码、反码、补码知识详细讲解(此作者是我找到的讲的最细最明白的一个
原码、反码、补码的产生、应用以及优缺点有哪些? - 知乎
为什么计算机采用补码而不是原码反码? - 知乎

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