多重背包+队列优化（从看不懂到看开）

队列优化：复杂度O（NV）

正常多重背包：O(NV*Σ(V/Weight[i])）

二进制优化：O(N*V*Σlog(c[i]))

 

队列优化到底是什么玩意。

首先这是一条多重背包得式子：

F[j]=max(F[j-k*v]+k*w)    j/v

我们来分析一下这个F[j-k*v]+k*w   转化一下其实变成 F[a*v+b]+D*w            ①

b=j%v，其实对于每次操作，相隔v的东西是有迹可寻的。

于是我们就令a*v+b=j，因为b=j%v，所以a=j/v

就有F[a*v+b]=max(F[a*v+b-k*v]-kw)                                                             ②

（你可能会觉得很迷，但的确挺迷的。）

①：只要j是确定的话，j-k*v=a*v+j%v  中k和a是一一对应的

②：我们可以用a*v+b这式子来表示j，正如①中所说，因为相隔v是有关系的，那我们就用一个带有v的式子来表示j。

在这里我们假设a是不变的。 令D=a-k 就有F[a*v+b]=max(F[D*v+b]-Dw)+aw        

这时候我们就可以知道F[a*v+b]的大小只与F[D*v+b]有关，而这时候a和k无论怎么转变，他都是整数，那我们就不用管他们了，而对于D，他是有范围的        a-c

//f[a*v[i]+b] = max(f[b+k*v[i]] - k*w[i]) + a*w[i]   (a-c[i] <= k <= a)
//Q1表示f[b+k*v[i]]-k*w[i]的可行值 即满足 (a-c[i]<=k<=a)
//Q2存的是f[b+k*v[i]]-k*w[i]的最大值
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    Ni = Num[i]; Vi = V[i]; Wi = W[i];
    for (int j = 0; j < Vi; ++j) {
        Head1 = Tail1 = 0;
        Head2 = Tail2 = 0;
        Cnt = 0;
        for (int k = j; k <= m; k += Vi) {
            if (Tail1 - Head1 == Ni + 1) {
                if (Q2[Head2 + 1] == Q1[Head1 + 1]) ++Head2;
                ++Head1;
                //Q1如果超出就弹出，如果Q2的头==Q1的头，那就是说Q2的头不在范围，于是就弹出
            }
            t = f[k] - Cnt * Wi;
            Q1[++Tail1] = t;
            while (Head2 < Tail2 && Q2[Tail2] < t) --Tail2;
            Q2[++Tail2] = t;
            //在Q1 Q2中存入f[k*v[i]+b]-k*w[i]
            //在这里就很明显可以看出Q1是普通数组，Q2是单调队列
            f[k] = Q2[Head2 + 1] + Cnt * Wi;
            ++Cnt;
        }
    }
}