数据结构与算法分析(八)排序(冒泡,插入,选择)

一、几种经典排序算法及其时间复杂度级别
冒泡、插入、选择 O(n^2) 基于比较
快排、归并 O(nlogn) 基于比较
计数、基数、桶 O(n) 不基于比较
二、如何分析一个排序算法?
1.学习排序算法的思路?明确原理、掌握实现以及分析性能。
2.如何分析排序算法性能?从执行效率、内存消耗以及稳定性3个方面分析排序算法的性能。
3.执行效率:从以下3个方面来衡量
1)最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度
2)时间复杂度的系数、常数、低阶:排序的数据量比较小时考虑
3)比较次数和交换(或移动)次数
4.内存消耗:通过空间复杂度来衡量。针对排序算法的空间复杂度,引入原地排序的概念,原地排序算法就是指空间复杂度为O(1)的排序算法。
5.稳定性:如果待排序的序列中存在值等的元素,经过排序之后,相等元素之间原有的先后顺序不变,就说明这个排序算法时稳定的。
三、冒泡排序
1.排序原理
1)冒泡排序只会操作相邻的两个数据。
2)对相邻两个数据进行比较,看是否满足大小关系要求,若不满足让它俩互换。
3)一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置,重复n次,就完成了n个数据的排序工作。
4)优化:若某次冒泡不存在数据交换,则说明已经达到完全有序,所以终止冒泡。
2.代码实现(见下一条留言)
3.性能分析
1)执行效率:最小时间复杂度、最大时间复杂度、平均时间复杂度
最小时间复杂度:数据完全有序时,只需进行一次冒泡操作即可,时间复杂度是O(n)。
最大时间复杂度:数据倒序排序时,需要n次冒泡操作,时间复杂度是O(n^2)。
平均时间复杂度:通过有序度和逆序度来分析。
什么是有序度?
有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数,比如[2,4,3,1,5,6]这组数据的有序度就是11,分别是[2,4][2,3][2,5][2,6][4,5][4,6][3,5][3,6][1,5][1,6][5,6]。同理,对于一个倒序数组,比如[6,5,4,3,2,1],有序度是0;对于一个完全有序的数组,比如[1,2,3,4,5,6],有序度为n*(n-1)/2,也就是15,完全有序的情况称为满有序度。
什么是逆序度?逆序度的定义正好和有序度相反。核心公式:逆序度=满有序度-有序度。
排序过程,就是有序度增加,逆序度减少的过程,最后达到满有序度,就说明排序完成了。
冒泡排序包含两个操作原子,即比较和交换,每交换一次,有序度加1。不管算法如何改进,交换的次数总是确定的,即逆序度。
对于包含n个数据的数组进行冒泡排序,平均交换次数是多少呢?最坏的情况初始有序度为0,所以要进行n*(n-1)/2交换。最好情况下,初始状态有序度是n*(n-1)/2,就不需要进行交互。我们可以取个中间值n*(n-1)/4,来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。
换句话说,平均情况下,需要n*(n-1)/4次交换操作,比较操作可定比交换操作多,而复杂度的上限是O(n^2),所以平均情况时间复杂度就是O(n^2)。
以上的分析并不严格,但很实用,这就够了。
2)空间复杂度:每次交换仅需1个临时变量,故空间复杂度为O(1),是原地排序算法。
3)算法稳定性:如果两个值相等,就不会交换位置,故是稳定排序算法。
四、插入排序
1.算法原理
首先,我们将数组中的数据分为2个区间,即已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素,就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想就是取未排序区间中的元素,在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入,并保证已排序区间中的元素一直有序。重复这个过程,直到未排序中元素为空,算法结束。
2.代码实现(见下一个博客)
3.性能分析
1)时间复杂度:最好、最坏、平均情况
如果要排序的数组已经是有序的,我们并不需要搬移任何数据。只需要遍历一遍数组即可,所以时间复杂度是O(n)。如果数组是倒序的,每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据,所以需要移动大量的数据,因此时间复杂度是O(n^2)。而在一个数组中插入一个元素的平均时间复杂都是O(n),插入排序需要n次插入,所以平均时间复杂度是O(n^2)。
2)空间复杂度:从上面的代码可以看出,插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间,所以空间复杂度是O(1),是原地排序算法。
3)算法稳定性:在插入排序中,对于值相同的元素,我们可以选择将后面出现的元素,插入到前面出现的元素的后面,这样就保持原有的顺序不变,所以是稳定的。

你可能感兴趣的:(数据结构与算法,数据结构与算法学习,数据结构与算法,数据结构与算法)