DAY49：动态规划：多重背包理论基础

对于多重背包，在力扣上还没有对应的题目，所以这里就做一下简单介绍。

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的，因为他们唯一的区别，就是01背包每种物品只有一件，而多重背包每种物品m件。但是，每件物品最多有Mi件可用，我们把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如下面两种情况实际上是一样的：

多重背包：

01背包：（摊开上面的件数）

这两种情况是一样的，转成了一个01背包问题，且每个物品只用一次。

示例写法

• 上面的多重背包例子，写法如下：
• 分为两步，第一步是先把weight[i]和value[i]进行更新，也就是把nums[i]保留为1(while(nums[i]>1))，其他的都放到value和weight的数组里即可
• 剩余部分等同于01背包

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;

}
int main() {
    test_multi_pack();
}

• 时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量（最开始展开个数的循环）

总结

多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。