计算方法笔记4.7

定理1

积分公式Q[f]的代数精度为m的充要条件是：

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例：

将代入：

可以得到：等三个公式，然后就可以解方程组，求出系数

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求代数精度：

将代入，两边都等于0

将代入，两边不想等，所以代数精度是3

然后用广义皮亚诺定理来求截断误差：

这里不满足积分区间内不变号的条件，不能使用积分中值定理，所以求不出来

用另一个方法来求：

绝招：

可以计算出k的数值，而不用积分

这里选取的不是-h，0，h，计算出来以后发现误差降低了（前面的系数减小了）！

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注意到前面的系数是负的，所以试着去掉它计算

期望其代数精度为3：

分别 令,建立出四个方程组：

求得：

把代入，发现左右不相等，因此代数精度为3

这里广义皮亚诺定理算不出来，因为积分区间与选取的点的区间不一致，所以使用绝招：

把代入：求出系数，发现系数由变小了！

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这里只用了两个点，但带入精度达到了3！

比之前的辛普森公式要小！

点数n+1，精度最高2n+1，精度达到最高时称为高斯型求积公式，相应的节点是高斯点

要求高斯型公式，需要求非线性方程组