15-C++基本算法-贪心法

理论基础

贪心法（Greedy Algorithm）是一种常见的算法思想，它在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，以期望获得全局最优解。贪心法通常适用于问题具有最优子结构和贪心选择性质的情况。

适用场景

贪心法适用于满足以下两个条件的问题：

1. 最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。
2. 贪心选择性质：在每一步选择中，都采取当前状态下的最优选择。

使用步骤

贪心法的使用步骤如下：

1. 建立数学模型：将问题转化为数学模型，明确问题的目标和约束条件。
2. 设计贪心策略：确定每一步选择的贪心策略，即在当前状态下的最优选择。
3. 证明贪心选择的正确性：通过数学证明或逻辑推理，证明贪心选择的正确性。
4. 实现算法：根据贪心策略编写代码实现算法。
5. 分析算法性能：评估算法的时间复杂度和空间复杂度，并进行性能分析。

算法缺陷

贪心法的主要缺点是局部最优不一定是全局最优。由于贪心法每一步只考虑当前状态下的最优选择，并没有考虑到全局的情况，因此在某些情况下可能得不到最优解。在应用贪心法解决问题时，需要仔细分析问题的性质，判断贪心法是否适用。

经典例子

贪心法在实际问题中有很多应用，下面介绍几个经典的例子：

• 活动选择问题：给定一组活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间，要求选择出最多的互不冲突的活动。
• 钱币找零问题：给定一定面值的钞票和一个需要找零的金额，要求找出最少的钞票数量。
• 背包问题：给定一组物品，每个物品都有一个重量和价值，背包有一定的容量限制，要求选择一些物品放入背包中，使得总价值最大。
• 小船过河问题：有一条河，河中有一些石头，每块石头的位置和大小都不同，要求找到一种过河方案，使得每次跳石头的距离尽可能小。
• 区间覆盖问题：给定一组区间，要求选择最少的区间，使得它们的并集覆盖了整个区间。

常见例子

活动选择问题

活动选择问题是一个经典的贪心法应用。给定一组活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间，要求选择出最多的互不冲突的活动。

思路解析:

1. 首先，将活动按照结束时间进行排序。
2. 初始化一个变量count，表示选择的活动数量。
3. 选择第一个活动，并将其结束时间作为当前的最远时间。
4. 遍历剩余的活动，如果当前活动的开始时间大于等于当前的最远时间，则选择该活动，并更新当前的最远时间。
5. 重复上述步骤，直到遍历完所有活动。
6. 最终，count即为选择的活动数量。

表格解析:

活动编号	开始时间	结束时间
1	1	4
2	3	5
3	0	6
4	5	7
5	3	9
6	5	9
7	6	10
8	8	11
9	8	12
10	2	14
11	12	16

流程图解析:

是

否

是

否

初始化

选择第一个活动

遍历剩余活动

选择该活动

是否遍历完所有活动

结束

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct Activity {
    int start;
    int end;
};

bool compare(Activity a, Activity b) {
    return a.end < b.end;
}

int maxActivities(vector<Activity>& activities) {
    sort(activities.begin(), activities.end(), compare);
    int count = 1;
    int end = activities[0].end;
    for (int i = 1; i < activities.size(); i++) {
        if (activities[i].start >= end) {
            count++;
            end = activities[i].end;
        }
    }
    return count;
}

int main() {
    vector<Activity> activities = {{1, 4}, {3, 5}, {0, 6}, {5, 7}, {3, 9}, {5, 9}, {6, 10}, {8, 11}, {8, 12}, {2, 14}, {12, 16}};
    int maxCount = maxActivities(activities);
    cout << "最多的互不冲突的活动数量为：" << maxCount << endl;
    return 0;
}

通过以上代码，我们可以得到最多的互不冲突的活动数量。这个例子展示了贪心法在活动选择问题中的应用，通过排序和贪心选择策略，我们选择了最多的互不冲突的活动。

钱币找零问题

钱币找零问题是另一个常见的贪心法应用。给定一定面值的钞票和一个需要找零的金额，要求找出最少的钞票数量。

思路解析:

1. 首先，将钞票按面值从大到小进行排序。
2. 初始化一个变量count，表示所需钞票的数量。
3. 遍历排序后的钞票列表，如果当前面值小于等于待找零金额，则将该面值的钞票加入找零结果，并更新待找零金额为剩余金额。
4. 重复上述步骤，直到待找零金额为0或遍历完所有钞票。
5. 最终，count即为所需钞票的数量。

表格解析:

面值	数量
50	2
20	0
10	1
5	0
1	2

流程图解析:

graph LR
A[初始化] --> B[选择第一个面值的钞票]
B --> C[待找零金额是否为0]
C --> |是| F[结束]
C --> |否| D[当前面值是否小于等于待找零金额]
D --> |是| E[加入找零结果，并更新待找零金额]
D --> |否| G[选择下一个面值的钞票]
E --> G
G --> C

#include 
#include 
using namespace std;

int minCoins(vector<int>& coins, int amount) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
        while (amount >= coins[i]) {
            amount -= coins[i];
            count++;
        }
    }
    return count;
}

int main() {
    vector<int> coins = {1, 5, 10, 25};
    int amount = 67;
    int minCount = minCoins(coins, amount);
    cout << "最少的钞票数量为：" << minCount << endl;
    return 0;
}

通过以上代码，我们可以得到最少的钞票数量。这个例子展示了贪心法在钱币找零问题中的应用，通过贪心选择策略，我们选择了面值最大的钞票来找零，从而达到最少的钞票数量。

背包问题

背包问题是一个经典的动态规划问题，也可以使用贪心法进行求解。给定一组物品，每个物品都有一个重量和价值，背包有一定的容量限制，要求选择一些物品放入背包中，使得总价值最大。

思路解析:

1. 首先，计算每个物品的单位价值，即价值与重量的比值。
2. 将物品按照单位价值从大到小进行排序。
3. 初始化一个变量maxValue，表示背包中物品的总价值。
4. 初始化一个变量capacity，表示背包的剩余容量。
5. 遍历排序后的物品列表，如果当前物品的重量小于等于背包的剩余容量，则将该物品放入背包，并更新maxValue为当前价值，capacity为剩余容量减去当前物品的重量。
6. 如果当前物品的重量大于背包的剩余容量，则计算当前物品的单位价值乘以背包的剩余容量，并加到maxValue上，然后结束遍历。
7. 重复上述步骤，直到遍历完所有物品或背包的容量用尽。
8. 最终，maxValue即为背包中物品的总价值。

表格解析:

物品编号	重量	价值	单位价值
1	10	60	6
2	20	100	5
3	30	120	4

流程图解析:

graph LR
A[初始化] --> B[选择第一个物品]
B --> C{背包剩余容量是否为0}
C --> |是| F[结束]
C --> |否| D{当前物品重量是否小于等于背包剩余容量}
D --> |是| E[将物品放入背包，并更新maxValue和capacity]
D --> |否| G[计算当前物品的单位价值乘以背包剩余容量，并加到maxValue上，然后结束遍历]
E --> G
G --> C

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct Item {
    int weight;
    int value;
};

bool compare(Item a, Item b) {
    double ratioA = (double)a.value / a.weight;
    double ratioB = (double)b.value / b.weight;
    return ratioA > ratioB;
}

double maxValue(vector<Item>& items, int capacity) {
    sort(items.begin(), items.end(), compare);
    double maxValue = 0.0;
    for (int i = 0; i < items.size(); i++) {
        if (capacity >= items[i].weight) {
            maxValue += items[i].value;
            capacity -= items[i].weight;
        } else {
            maxValue += capacity * ((double)items[i].value / items[i].weight);
            break;
        }
    }
    return maxValue;
}

int main() {
    vector<Item> items = {{10, 60}, {20, 100}, {30, 120}};
    int capacity = 50;
    double maxVal = maxValue(items, capacity);
    cout << "背包中物品的最大总价值为：" << maxVal << endl;
    return 0;
}

通过以上代码，我们可以得到背包中物品的最大总价值。这个例子展示了贪心法在背包问题中的应用，通过排序和贪心选择策略，我们选择了单位价值最高的物品放入背包，从而达到最大的总价值。

小船过河问题

小船过河问题是一个经典的贪心法应用。假设有一条河，河中有一些石头，每块石头的位置和大小都不同，要求找到一种过河方案，使得每次跳石头的距离尽可能小。

思路解析:

1. 首先，将石头的位置进行排序。
2. 初始化一个变量maxDistance，表示每次跳石头的最大距离。
3. 遍历排序后的石头列表，计算相邻石头之间的距离，并更新maxDistance为最大距离。
4. 最终，maxDistance即为每次跳石头的

最大距离。

表格解析:

石头编号	位置
1	0
2	2
3	4
4	7
5	8
6	9

流程图解析:

是

否

初始化

选择第一个石头

是否遍历完所有石头

结束

计算当前石头与上一个石头之间的距离

更新最大距离

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int maxDistance(vector<int>& stones) {
    sort(stones.begin(), stones.end());
    int maxDistance = 0;
    for (int i = 1; i < stones.size(); i++) {
        maxDistance = max(maxDistance, stones[i] - stones[i - 1]);
    }
    return maxDistance;
}

int main() {
    vector<int> stones = {2, 5, 7, 10, 12};
    int maxDist = maxDistance(stones);
    cout << "每次跳石头的最大距离为：" << maxDist << endl;
    return 0;
}

通过以上代码，我们可以得到每次跳石头的最大距离。这个例子展示了贪心法在小船过河问题中的应用，通过排序和贪心选择策略，我们选择了相邻石头之间的最大距离作为每次跳石头的最大距离。

区间覆盖问题

区间覆盖问题是一个经典的贪心法应用。给定一组区间，要求选择最少的区间，使得它们的并集覆盖了整个区间。

思路解析:

1. 首先，将区间按照结束时间进行排序。
2. 初始化一个变量count，表示最少的区间数量。
3. 初始化一个变量end，表示当前的最远结束时间。
4. 遍历排序后的区间列表，如果当前区间的开始时间大于end，则选择该区间，并更新end为当前区间的结束时间。
5. 重复上述步骤，直到遍历完所有区间。
6. 最终，count即为最少的区间数量。

表格解析:

区间编号	开始时间	结束时间
1	1	4
2	3	5
3	0	6
4	5	7
5	3	9
6	5	9
7	6	10
8	8	11
9	8	12
10	2	14
11	12	16

流程图解析:

是

否

是

否

初始化

选择第一个区间

遍历剩余区间

选择该区间

是否遍历完所有区间

结束

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct Interval {
    int start;
    int end;
};

bool compare(Interval a, Interval b) {
    return a.end < b.end;
}

int minIntervals(vector<Interval>& intervals) {
    sort(intervals.begin(), intervals.end(), compare);
    int count = 1;
    int end = intervals[0].end;
    for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
        if (intervals[i].start > end) {
            count++;
            end = intervals[i].end;
        }
    }
    return count;
}

int main() {
    vector<Interval> intervals = {{1, 4}, {3, 5}, {0, 6}, {5, 7}, {3, 9}, {5, 9}, {6, 10}, {8, 11}, {8, 12}, {2, 14}, {12, 16}};
    int minCount = minIntervals(intervals);
    cout << "最少的区间数量为：" << minCount << endl;
    return 0;
}

通过以上代码，我们可以得到最少的区间数量。这个例子展示了贪心法在区间覆盖问题中的应用，通过排序和贪心选择策略，我们选择了最早结束的区间，并保证每次选择的区间是不重叠的。

总结

贪心法是一种常用的算法思想，适用于具有最优子结构和贪心选择性质的问题。通过选择当前状态下的最优选择，期望达到全局最优解。然而，贪心法也有局限性，局部最优不一定是全局最优。因此，在应用贪心法解决问题时，需要仔细分析问题的性质，并考虑贪心选择的正确性。

贪心法在算法设计中有很多应用，例如活动选择问题、钱币找零问题、背包问题、小船过河问题和区间覆盖问题等。这些例子展示了贪心法的思想和具体应用，希望能够帮助你理解和应用贪心法解决问题。

通过不断学习和练习，你将逐渐熟悉贪心法的思想和应用，并能够灵活运用它解决各种实际问题。加油！

⭐️希望本篇文章对你有所帮助。

⭐️如果你有任何问题或疑惑，请随时向提问。

⭐️感谢阅读！