数学知识-求组合数三种算法

递推法-杨辉三角

$q$组询问,每组询问两个整数,求$C_n^m\mathrm{mod}(10^9+7)$
数据范围$1<=m<=n<=2000，求q<=10^4$
递推公式$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$
对于第一个数有选或者不选两个决策：

• 选了，需要从剩下$n-1$个中选$m-1$个，$C_{n-1}^{m-1}$
• 不选，需要从剩下$n-1$个中选$m$个，$C_{n-1}^m$

杨辉三角公式：

• $C_n^0=C_n^m=1$
• $C_n^m=C_n^{n-m}$

代码

const int N = 2010,mod=1e9+7;
int c[N][N];

void init(){
    for(int i=0;i<N;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}

快速幂

$q$组询问,每组询问两个整数,求$C_n^m\mathrm{mod}(10^9+7)$
数据范围$1<=m<=n<=10^5,q<=10^4$
$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$,用$f[x]存x!\mathrm{mod}p$,用$g[x]存(x!{)}^{-1}\mathrm{mod}p$,即乘法逆元
由于$p$是质数，n,m都是小于p的，所以n,m与p互质，由费马小定理：$a\cdot a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$,乘法逆元为$a^{p-2}$
查询：$C_n^m(\mathrm{mod}p)=f[n]\ast g[n-m]\ast g[m](\mathrm{mod}p)$

代码

const int N=1e5+10,mod=1e9+7;
int f[N],g[N];

LL qmi(LL a,LL b){
    LL res=1;
    while (b){
        if (b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void init(){
    f[0]=g[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        f[i]=f[i-1]*i%mod;
        g[i]=g[i-1]* qmi(i,mod-2)%mod;
    }
}
LL get(LL n,LL m){
    return f[n]*g[m]%mod*g[n-m]%mod;
}

卢卡斯定理

求$C_n^m\mathrm{mod}(p)$，p为质数
数据范围$1<=m<=n<=10^{18},p<=10^5$
卢卡斯定理：
$C_n^m=C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}}{C}_{n\mathrm{mod}p}^{m\mathrm{mod}p}(\mathrm{mod}p)$,其中p为质数

代码

#include 

using namespace std;

#define endl '\n'
#define debug(x) cout<<"a["<<x<<"]="<<a[x]<<endl;
#define pr(x) cout<<x<<endl;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+10;
LL f[N],g[N];

LL qmi(LL a,LL b,int mod){
    LL res=1;
    while (b){
        if (b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void init(int mod){
    f[0]=g[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        f[i]=f[i-1]*i%mod;
        g[i]=g[i-1]* qmi(i,mod-2,mod)%mod;
    }
}
LL get(LL n,LL m,int mod){
    return f[n]*g[m]%mod*g[n-m]%mod;
}

LL lucas(LL n,LL m,int mod){
    if (m==0) return 1;
    return lucas(n/mod,m/mod,mod)* get(n%mod,m%mod,mod)%mod;
}


int main() {
    IOS;
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("/Users/houyunfei/CLionProjects/MyCppWorkSpace/test.in", "r", stdin);
    freopen("/Users/houyunfei/CLionProjects/MyCppWorkSpace/test.out", "w", stdout);
#endif
    int n,m,mod;
    int t;
    cin>>t;
    while (t--){
        cin>>n>>m>>mod;
        init(mod);
        pr(lucas(n+m,m,mod))
    }

    return 0;
}