【进阶指南】最短Hamilton路径【状压DP】

Date：2022.04.07
题意描述：
给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。
Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式
第一行输入整数 n。
接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。
对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。
输出格式
输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。
数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10^7
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

思路：举个例子，0->1->2->3->4、0->3>->1->2->4效果是否是一样的？显然是的。但是显然权值是不同的，那我们要求最短路径，显然要走最短的。
因此我们只需要关注：①起点（固定了为0）②终点③中途点是哪些（状态压缩所有点，例：110011表示过了0、1、4、5号点的路径）。
由此，$f[i][j]:$从$0$号点开始走，走过的路径点为$i$（注意状态$i$也包括$0$和目标点$j$），且最终到达点$j$的最短哈密顿路径。哈密顿路径的性质是每个点不能被走两次，也就是“一笔画”，因此我们的终点若是$j$，则到达$j$之前的中途路径$0->...->k$必定不会包含点$j$，在状态表示上也就是第$j$位一定为0。由此引出思路：
①枚举所有路径状态$i$：$0-(1<<n-1)$
②枚举这个路径的哪一位为$1$，假设为第$j$位，讨论第$j$位作为终点。这个终点已经固定为$j$，因此前一个路径状态即为$i-(1<<j)$。
③我们讨论前一路径的终点为$k$，显然$k$是$i-(1<<j)$状态中所有为$1$的点。我们知道了上一路径的终点，知道了当前路径的终点，显然:上一路径+$g[k][j]$可以像更新最短路一样更新$f[i][j]$，因此最小的即为$f[i][j]$。
此外，注意初始状态为$f[1][0]$，因为起始就在$0$号点，二进制的状态表示上是$000....001$。
答案即为：$f[(1<<n)-1][n-1]$。

代码如下：

#include 
using namespace std;
const int N = 20,M=1<<N;
typedef long long LL;
LL n,m,f[M][N],g[N][N];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++) cin>>g[i][j];
    memset(f,0x3f,sizeof f);f[1][0]=0;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(i>>j&1)
            {
                LL t=i-(1<<j);
                for(int k=0;k<n;k++)
                    if(t>>k&1)
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[t][k]+g[k][j]);
            }
    cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
    return 0;
}