[USACO23OPEN] Field Day S

题目描述

Each of Farmer John’s $N$ barns has selected a team of $C$
cows to participate in field day. The breed of every cow is
either a Guernsey or a Holstein.

The difference between two teams is defined to be the number of positions $i$
($1\le i\le C$) at which the breeds of the cows in the $i$ th positions
differ. For every team $t$ from $1\dots N$, please compute the maximum
difference between team $t$ and any other team.

翻译

有 $N$ 个长度为 $C$ 的由字符 G 或 c 组成的字符串。对于每个字符串，求出它与其他字符串不同位置数量的最大值。

题解

这里提供一个不同的思路。

首先把每个字符串压缩成一个数。数的范围显然是 $[0,2^C)$，记第 $i$ 个字符串对应的数为 $a_i$。

对于第 $i$ 个询问，答案等于 $\underset{j\in [1,N]}{\max }\mathrm{popcount}(a_i\oplus a_j)$

如果暴力做，时间复杂度是 $O(N^2)$ 的，不能通过。

换一个思路，从大到小枚举答案 $x$，判断是否可行。若存在 $y\in [0,2^C),j\in [1,N]$，使得 $\mathrm{popcount}(y)=x$，且 $y\oplus a_j=a_i$，就是可行的。

观察关键条件：$y\oplus a_j=a_i$，这让我们联想到 $FWT$。

将 $a$ 中的各个元素丢进桶 $t$ 里面，对于所有 $j\in [0,2^C)$，按照二进制 $1$ 的个数归类，也按照类丢进桶里。然后对于每个类与 $t$ 进行 $FWT$。在判断时，只需要判断下标 $a_i$ 的数是否大于 $0$ 即可。

时间复杂度为 $O(C^2\cdot 2^C)$

$FWT$ 数组记得开 long long，可能需要一些卡常技巧。

代码

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int C=18,N=1e5+1;
int c,n;
char s[C];
ll a[N],t[1<<C],b[C+1][1<<C],cnt[1<<C];
void fwt_xor(ll a[],int fl)
{
    int n=1<<c;
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            for(int k=j;k<j+i/2;k++){
                ll x=a[k]+a[k+i/2],y=a[k]-a[k+i/2];
                a[k]=x>>(fl==-1),a[k+i/2]=y>>(fl==-1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&c,&n);
    for(int i=0;i<(1<<c);i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1),b[cnt[i]][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s);
        for(int j=0;j<c;j++) a[i]=(a[i]<<1)|(s[j]=='G');
        t[a[i]]++;
    }
    fwt_xor(t,1);
    for(int i=0;i<=c;i++){
        fwt_xor(b[i],1);
        for(int j=0;j<(1<<c);j++) b[i][j]=b[i][j]*t[j];
        fwt_xor(b[i],-1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=c;j>=0;j--){
            if(b[j][a[i]]){
                printf("%d\n",j);
                break;
            }
        }
    }
}