acwing基础课——约数

由数据范围反推算法复杂度以及算法内容 - AcWing

常用代码模板4——数学知识 - AcWing

基本思想：

        首先，约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。在这里我们讨论四个问题：

（一）求一个数的所有约数——试除法

        暴力来解决这个问题很简单，就是从1开始遍历到n即可

for(int i = 1; i <= x; i++)
    {
        if(x % i == 0) res.push_back(i);
    }

时间复杂度为O(n),当处理m个数据时即为O(nm)，所以当数据过多过大时时间效率较低，通过对质数的学习，我们知道一个数的因数即约数是成对出现的，所以我们同样可以用试除法，计算小的约数，并将大的约数添加到答案里，注意判断一下两者是否相同避免重复即可。

for(int i = 1; i <= x / i; i++)
            if(x % i == 0)
            {
                res.push_back(i);
                if(i != x/i) res.push_back(x/i);
            } 

869. 试除法求约数 - AcWing题库

给定 n 个正整数 ai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai 的所有约数。

数据范围

1≤n≤100,
2≤ai≤2×1e9

输入样例：

2
6
8

输出样例：

1 2 3 6 
1 2 4 8 

#include
#include
#include

using namespace std;

int n;

int main()
{
    cin>>n;
    
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        vector res;
        
        for(int i = 1; i <= x / i; i++)
            if(x % i == 0)
            {
                res.push_back(i);
                if(i != x/i) res.push_back(x/i);
            } 
        
        sort(res.begin(), res.end());
        
        for (auto k : res) cout << k << ' ';
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}

（二）求一些数的乘积的约数个数

        我们可以将一个数写成质因数的乘积的形式，也就是

 那么这个数的约数个数就是

 粗略的讲一下原理，就是我们可以将因数再分解，将因数的通式写出来，那么n的约数个数和我们β取法的个数是相同的，对于任意一个βi有0到αi个选择，即αi+1种，那么我们所有的选择方案就是将每个βi可选择的方案数累乘组合起来即可，也就得到了我们的约数个数的式子。

 870. 约数个数 - AcWing题库

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 109+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7 取模。

数据范围

1≤n≤100,
1≤ai≤2×1e9

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

12

#include
#include
#include

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
int n;

int main()
{
    cin>>n;
    
    unordered_map primes;
    
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        
        for(int i = 2; i <= x / i; i++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i]++;
            }
        }
        
        if(x > 1) primes[x]++;
    }
    
    long long res = 1;
    
    for(auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod; 
    
    cout << res;
    
    return 0;
}

（三）一些数的乘积的约数之和

        同样的，我们将N写成质因数乘积的形式，约数之和的式子就是

 逆推想好想，我们将这个式子展开，每一个括号里我们都有ai+1种选择，那么我们一共就有

也就是上一个问题约数的个数的式子，对于分解后的每一个式子，它所选取的括号里的每一个p也是不同的，即分解后的每一个乘积式子都可以看作一个数，这样我们就将所有约数的和求出了。

871. 约数之和 - AcWing题库

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 109+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 109+7 取模。

数据范围

1≤n≤100,
1≤ai≤2×1e9

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

252

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 1e9 + 7;
int n;

int main(){
    
    cin>>n;
    
    unordered_map primes;
    
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        
        for(int i = 2; i <= x / i; i++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i]++;
            }
        }
        
        if(x > 1) primes[x]++;//x没除完
    }
    
    LL res = 1;
    
    for (auto prime : primes)
    {
        LL p = prime.first, a = prime.second;
        LL t = 1;
        while (a--) t = (t * p + 1) % mod;
        //还要算0次方，算0次方就直接加1了，然后从一次方算方便些
        /*计算一下：
        第一步：
        t = (t * a + 1)
        t=p1的一次方+p1的零次方；
        第二步：
        t = (t * a + 1)
        t=p1的二次方+p1的一次方+1=p1的二次方+p1的一次方+p1的零次方；
        */
        res = res * t % mod;
    }
    
    cout << res;
    
    return 0;
}

（四）最大公约数

        这里我们用到欧几里得算法，也叫辗转相除法，d能整除a和b，那么d同样能整除ax+by，例如3能整除6和9，3也能整除15,21,24，如此，a和b的最大公约数也就是b和a mod b的最大公约数，因此，我们辗转相除，直至a mod b 为 0 返回即可。

        对于a和b的最大公约数也就是b和a mod b的最大公约数的证明，a mod b可写作a - cb， (a, b) = (b, a - cb),我们反推，d能整除b和a - cb，那么d也能整除a - cb + xb，当x=c，a - cb + cb = a，即d也能整除a，所以是成立的。

872. 最大公约数 - AcWing题库

给定 n 对正整数ai,bi，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数对 ai,bi。

输出格式

输出共 n 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

1≤n≤1e5,
1≤ai,bi≤2×1e9

输入样例：

2
3 6
4 6

输出样例：

3
2

#include

using namespace std;

const int N=100010;
int n;

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        cout << gcd(a,b) << endl;
    }
    return 0;
}