洛谷01背包变形（P1858多人背包）

多人背包

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一、问题简述

DD 和好朋友们要去爬山啦！

他们一共有 K 个人，每个人都会背一个包。这些包 的容量是相同的，都是 V。可以装进背包里的一共有 N 种物品，每种物品都有 给定的体积和价值。

在 DD 看来，合理的背包安排方案是这样的： 每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量。 每个包里的每种物品最多只有一件，但两个不同的包中可以存在相同的物品。

任意两个人，他们包里的物品清单不能完全相同。 在满足以上要求的前提下，所有包里的所有物品的总价值最大是多少呢？

输入格式

第一行三个数K、V、N
接下来每行两个数，表示体积和价值

输出格式

前k优解的价值和

输入 #1

2 10 5
3 12
7 20
2 4
5 6
1 1

输出 #1

57

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二、问题分析

① 由题意得这是一道01背包的问题，01背包的模板题点此进入。学过背包的同学都知道01背包的状态f[i][j]表示前i个物品体积不超过j的最大价值，状态转移方程:f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w)。优化成一维就是f[j] = max(f[j], f[j - v] + w)

② 由于包里的清单不能完全相同，何为完全相同？就是里面的物品一模一样，其表示的意思就是存在一样物品不同即可。我们可以通过01背包求解出第k优解，即设状态为f[i][k]表示体积为i第k个包中的最大价值，易得f[i][1], f[i][2], …, f[i][k]是单调递减的。

③ 每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量说明每次都要将背包装满，少一点都不行。由于所求为最大值(max)，那么我们需要初始化f数组为负无穷，f[0][1] = 0。第1个包体积为0时的价值为0是显然的且计算出的值是最优解，可是为什么不是将f[0][k]置为0？假设我们将f[0][k]置为0，通过01背包的状态转移方程操作一番会得出所有解都是最优解，也就是说所有背包的物品都是一样的，显然与题意不符。

④ 按第②步分析得，每个包的价值是单调递减的，需要开一个数组来存取中间的包数所代表的值，所以我们可以在枚举物品枚举体积后加多一个循环，以背包的数量为条件来枚举，通过状态转移方程来设条件以此存入对应的背包里面，使其形成一个单减数列，由于当前的f数组未必是严格单减，所以最后需要将t数组中的值更新到f数组中。

⑤最后，求解的是前k优解的和，所以需要将f[m][k]求和，记得开long long。

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三、代码参考

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 6010;
int f[N][55], t[N];
int n,m,k;

int main()
{
    cin>>k>>m>>n;
    memset(f, -0x3f, sizeof f);  //初始化
    f[0][1]=0;
    for(int i=0; i<n; i++)  //枚举物品
    {
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=m; j>=v; j--)  //枚举体积
        {
            int c1=1, c2=1, cnt=0;
            while(cnt<=k)  //求解当前第k个背包的第k优解
            {
            	//以状态转移方程来设定判定条件
                if(f[j][c2]>f[j-v][c1]+w) t[++cnt]=f[j][c2++];
                else t[++cnt]=f[j-v][c1++]+w;
            }
            for(int h=1; h<=k; h++) f[j][h]=t[h];  //更新数组
        }
    }
    //求和
    LL res=0;
    for(int i=1; i<=k; i++) res=(LL)res+f[m][i];
    cout<<res;
    return 0;
}

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