码随想录算法训练营第四十四天 | 518.零钱兑换、377.组合总和IV

---

一、518.零钱兑换

题目链接

一开始好难理解呀，直到推导dp数组后才终于理解了。

遍历顺序：先物品后背包

要注意的点已经在图中写出了，最关键的点是在于理解dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]]中：
前者是不考虑当前物品i的装法，比如图中所举的例子，上面的1+1+1已经能够把3装满了，当有了新工具（coins[1]=2）时，也不能忘了老办法依然可行啊；
后者是考虑当前物品i的装法，如图中的例子，当有了数字2，就有了新的方法，方法的个数就是能凑满3-2=1这么大容量的背包的方法数（每个方法中最后加上数字2即可）。

（这种理解方法是更符合动态规划的思想的，即当前状态取决于前面的状态。）

当然，还有一个点在刚接触这道题的时候困扰我很久，就是dp[0]=1的定义。最开始我的想法是，比如i=0时的dp[0]和dp[1]，dp[0]不放物品是一种方法，那dp[1]放了物品又是一种方法，岂不是dp[1]=2？
但是用常理想想，用1装满空间1的方法可不就是一种嘛，就是放一个1。
所以这里是不用细扣dp[0]=1的意义的，它没有现实意义，只是为了递推的需要。不要纠结于此了。

代码如下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 先遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // <= !!! // 后遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

j = coins[i]：j从coins[i]开始有两个理解：
1）空间不够装coins[i]肯定不用考虑了；
2）保证dp[j - coins[i]]下标dayu0

二、377.组合总和IV

题目链接

开始也是理解不了为什么换一个遍历顺序就可以实现排列，推导dp数组后终于明白了。

遍历顺序：先背包后物品

关键是要理解“新遍历到的物品”这一概念。
因为每次都是处理完一个背包容量后处理下一个，在上一个背包容量中，已经对所有物品进行了考虑，在下一个背包容量中，依然对所有物品进行考虑，物品使用的先后就产生了顺序的不同。

代码如下：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 先遍历背包，注意从0开始
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 后遍历物品
                if (i >= nums[j] && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) { // j
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }  
            }
        }
        return dp[target];
    }
};
// dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]不能写成dp[i] + dp[i - nums[j]] < INT_MAX 因为可能dp[i] + dp[i - nums[j]]相加后已经溢出了，无法判断

总结

为什么先物品后背包是组合问题：
因为先遍历物品时，是考虑完物品i后再考虑物品i+1，物品i一定前物品i+1前被选择，去掉了他们的排序关系。

为什么先背包后物品是排列问题：
先遍历背包容量时，在当前容量下已经尝试了所有物品，在下一个容量中依然尝试对所有物品进行考虑，物品使用的先后就产生了排序。
（就像排列数每个位置可以放任何物品一样，增加了物品的排序）

下次再想不明白的时候，看一看dp数组的推导就行了。