论文阅读:矩阵乘法GEMM的cache优化,子矩阵的切分方法Anatomy of High-Performance MatrixMultiplication

矩阵乘法优化的知名论文goto paper：

矩阵乘法的优化需要将矩阵切分成子矩阵，用子矩阵相乘的结果组合为原矩阵相乘的结果：

上图是拆分矩阵的方法，M表示矩阵，X方向和Y方向的两个维度都是未知的。P表示横条或竖条，X方向或Y方向有一个方向的维度是极小的。B表示block块，X方向和Y方向的两个维度都是极小的。

为了减小单个子矩阵计算量，要拆开A的整行和B的整列。不能让A的整行和B的整列作为子矩阵放入缓存进行计算。因此下图中第二列的Fig8和Fig10拆得最好，把A按列拆，使A的行不再完整，把B按行拆，使B的列不再完整。

下图是拆分矩阵后矩阵相乘的优化方法：

图中每列算法的含义：
第一列是 Matrix += Matrix * Matrix，就是矩阵乘加C += A * B。
第二列，（只讨论图8和图10，别的图不一样）是把 A 拆成多列、B 拆成多行，每次得到 与C尺寸相同的薄片，多层叠加得到完整的 C。
第三列是 更细致的拆分选择，A 的一列乘以 B 的一行，对于A 的一列乘以 B 的一行这一过程：

在第三列，Fig.8是把 A 的一列先拆成M个block，再将每个block（第i个)依次和 B 行相乘，相乘的结果是得到一个片（尺寸与C的子矩阵Ci相同），多个片叠加起来得到C矩阵；

                                               

在第三列，Fig.10是把 B 行拆成N个 block，再将每个block（第j个)依次被 A 乘，也是A列乘B行，得到C的一个片（尺寸与C的子矩阵Cj相同），再将C的多个片叠加得到C： 

                                                

第四列和第三列的含义类似。

在第四列，Fig.8一个block乘以一行，共N个block。由于要放到register里，要减少数据的大小。必然行切成更小的slice；即把B竖着切成小块放进寄存器：

                                                

在第四列，Fig.10含义类似，把A横着切成小块放进寄存器。共M个block：

                                                

Fig.8在第四列处理竖着的小slice时，列主序是内存连续的，但行主序不连续。因此Fig.8更适合列主序。同理，此Fig.10更适合行主序。

 

因此最终结论是：列主序用Fig.8最优，因为竖着切；行主序用Fig.10最优，因为横着切。

对于Fig8的GEBP计算：

                                                   

在如下 5 个前提都满足的情况下，理想的GEBP的计算过程和开销是怎么样的？

（前 3 个前提不考虑内存和寄存器存储结构中的 TLB，假设只有 内存、cache 和 ALU ：）

1. mc * kc 要小，小到 『 A + B的 nr 列 + C 的 nr 列 』能够一起塞进 cache
2. 如果 1. 被满足，CPU 计算时不再受内存速度的限制，即得到的gflops值就是真实的计算能力
3. A 或 A 的分块只会被加载进 Cache 一次，gemm过程中不会被换入又换出

（后 2 个前提要考虑 TLB，因为 TLB miss 会 stall CPU：）
      4. mc 和 kc 要小，小到 『 A + B的 nr 列 + C 的 nr 列 』能够被 TLB 索引，即一定是小于 L2 cache 的。
      5. A 或 A 的分块只被加载到 L2 cache 一次

因为Fig.8用的就是GEBP，所以想要高性能（高gflops）就得满足上面 5 个前提。落到实处上就是如下4个参数限制，这些限制也是 OpenBLAS level3.c循环里写一堆if-else的理论根源：

1. mc ≈ kc
2. nr ≥ (Rcomp / 2 / Rload)，其中 Rcomp 是算力、Rload 是 L2 cache 到 register 的带宽
3. mc * kc ≤ K
4. mc * kc 只能占 cache 的一半