龙贝格算法计算积分(c++)实现

目录

题目：

描述：

主要步骤：

龙贝格算法公式：

实现代码：

运行结果：

梯形值：

加速一次：

加速两次：

加速三次：

加速四次： 

加速5次：

计算结果：

优化相关：

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题目：

用龙贝格算法计算下面积分： 

 

描述：

实际问题中对于难以计算的定积分，我们往往采用数值积分的方法实现，其中龙贝格求积公式就是一种 好用的数值积分算法，在龙贝格算法中，是在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算。

主要步骤：

1、二分次求得梯形值

2、外推法进一步提升精度

龙贝格算法公式：

实现代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

//龙贝格算法计算 积分 I=0-1上x^3/2次方dx  

class Romberg
{
public:
	Romberg(int k,int a, int b, double e)
	{
		this->m_a = a;
		this->m_b = b;
		this->m_h = b - a;
		this->m_k = k;
		this->m_e = e;
		double T0_0 = (pow(a, 1.5) + pow(b, 1.5)) * this->m_h / 2.0;
		t.push_back(T0_0);
	}

	void getT0()
	{
		//double T0_1 = t[0] / 2.0 + this->m_h / 2.0 * pow(this->m_a + this->m_h / 2.0, 1.5);
		for (int i = 1; i <= 5; i++)
		{
			double temp = 0;
			for (int j = 1; j <= (int)pow(2,i-1); j++)
			{
				double num = this->m_a * 1.0 + (2.0*j-1.0) * (double)(this->m_h /pow(2,i));
				temp += pow(num, 1.5);
			}
			double T0_i = t[i - 1] / 2.0 + this->m_h /pow(2,i-1) / 2.0 * temp;
			t.push_back(T0_i);
			//this->m_h /= 2.0;
		}
	
	}

	void getT1()
	{
		for (int i = 1; i <= 5; i++)
		{
			double T1_i = pow(4, 1) * t[i] / (pow(4, 1) - 1.0) - t[i - 1] / (pow(4, 1) - 1);
			t1.push_back(T1_i);
		}
	}

	void getT2()
	{
		for (int i = 1; i <= 4; i++)
		{
			double T2_i = pow(4, 2) * t1[i] / (pow(4, 2) - 1.0) - t1[i - 1] / (pow(4, 2) - 1);
			t2.push_back(T2_i);
		}
	}

	void getT3()
	{
		for (int i = 1; i <= 3; i++)
		{
			double T3_i = pow(4, 3) * t2[i] / (pow(4, 3) - 1.0) - t2[i - 1] / (pow(4, 3) - 1);
			t3.push_back(T3_i);
		}
	}

	void getT4()
	{
		for (int i = 1; i <= 2; i++)
		{
			double T4_i = pow(4, 4) * t3[i] / (pow(4, 4) - 1.0) - t3[i - 1] / (pow(4, 4) - 1);
			t4.push_back(T4_i);
		}
	}

	void getT5()
	{
		for (int i = 1; i <= 1; i++)
		{
			double T5_i = pow(4, 5) * t4[i] / (pow(4, 5) - 1.0) - t4[i - 1] / (pow(4, 5) - 1);
			t5.push_back(T5_i);
		}
	}
	int m_k;
	int m_h;
	int m_a;
	int m_b;
	int m_e;
	vector t;
	vector t1;
	vector t2;
	vector t3;
	vector t4;
	vector t5;
};
int main()
{
	Romberg r(0,0,1,0.0001);
	r.getT0();
	string T = "012345";
	for (int i = 0; i < 6; i++)
	{
		cout << "T0_"<

运行结果：

梯形值：

加速一次：

加速两次：

加速三次：

加速四次： 

加速5次：

计算结果：

计算结果

k
0	0.500000
1	0.426777	0.402369
2	0.407018	0.400432	0.400302
3	0.401812	0.400077	0.400054	0.400050
4	0.400463	0.400014	0.400009	0.400009	0.400009
5	0.400118	0.400002	0.400002	0.400002	0.400002	0.400002

优化相关：

本文并未做程序优化，程序相当冗余并且，没啥普适性，优化建议如下：
1、加速值写成循环结构
2、根据预设精度判断二分次数
3、能不能把函数封装一下