高中奥数 2022-01-16

2022-01-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题05）

设,,,.

证明:对任意正整数,都有.

证明

由条件,知,而结合初始条件及数学归纳法可知,对任意,有,从而时,有,结合知,对任意,有,所以,当时,有

由,知,即时,有.

现设当时,有,则由(1)知,故,即命题对成立.

获证.

2022-01-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题06）

设为正实数.证明:对任意,都有

证明

当时,由知命题成立.

现设题成立,即,则.

注意到

所以

即命题对成立,获证.

2022-01-16-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题07）

证明:对任意,,都有

证明

当时,由于,故,命题成立.

现设命题对成立,由均值不等式,即,于是

所以,命题对成立,获证.

2022-01-16-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P052 习题08）

正实数数列满足:对任意正整数,都有.证明:对任意,都有.

证明

当时,,而,故,即命题对成立.

现设命题对都成立,即,.

则

于是,解得,或,结合,知.

所以,命题对成立,获证.