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数值线性代数：特征值求解SVD

本文记录SVD求解特征值/特征向量的原理与流程。

注1：限于研究水平，分析难免不当，欢迎批评指正。

零、预修

0.1 奇异特征值

设A\in \mathbb{R}^{m\times n}列满秩矩阵，若\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A}的特征值为\lambda_{1}\geq \lambda_{2}\geq \cdots \lambda_{r}>0，则称\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}为矩阵\boldsymbol{A}的奇异特征值。

0.2 SVD分解定理

设\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}，则存在正交矩阵\boldsymbol{U}\in \mathbb{R}^{m\times m}与\boldsymbol{V}\in \mathbb{R}^{n\times n}，使得

\boldsymbol{U}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{V}=\begin{pmatrix} \sum_{r} & 0\\ 0& 0 \end{pmatrix}

其中，\sum_{r}=diag\left ( \sigma_{1},\sigma_{2},\cdots ,\sigma_{r} \right )，\sigma_{1}\geq \sigma_{2}\geq \cdots \sigma_{r}>0。

0.3 Householder变换

设\boldsymbol{w}\in \mathbb{R}^{n}，且\boldsymbol{w}^{T}\boldsymbol{w}=1，定义\boldsymbol{H}=I-2\boldsymbol{w}\boldsymbol{w}^{T}为Householder变换。

0.4 Givens变换

设\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}是n维Euclid空间\mathbb{R}^{n}中的一组标准正交基，\forall x, y \in \mathbb{R}^{n}，则在平面\left ( \boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}\right )中存在旋转变换矩阵\boldsymbol{G}\left ( i,j,\theta \right )，满足

\boldsymbol{y}=\mathbf{G}\mathbf{x}

其中，

x=\begin{pmatrix} x\left ( 1:i-1 \right )\\ x_{i}\\ x\left ( i+1:j-1 \right )\\ x_{j}\\ x\left ( j+1:n \right ) \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} x\left ( 1:i-1 \right )\\ 0\\ x\left ( i+1:j-1 \right )\\ \sqrt{x_{i}^{2}+x_{j}^{2}}\\ x\left ( j+1:n \right ) \end{pmatrix}

\boldsymbol{G}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{I}_{i-1,i-1}& & & & \\ & cos\theta & & -sin\theta & \\ & & \boldsymbol{I}_{j-i-1,j-i-1}& & \\ & sin\theta & & cos\theta & \\ & & & & \boldsymbol{I}_{n-j,n-j} \end{pmatrix}

 cos\theta =\frac{x_{i}}{\sqrt{x_{i}^{2}+x_{j}^{2}}},sin\theta =\frac{-x_{j}}{\sqrt{x_{i}^{2}+x_{j}^{2}}},r=\sqrt{x_{i}^{2}+x_{j}^{2}}

参考资料

徐树方. 数值线性代数(第二版).  北京大学出版社, 2010.

Golub G. and Kahan W.. Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix[J]. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, 1965, 2(2) : 205-224.

Demmel J., Kahan W.．Accurate Singular Values of Bidiagonal Matrices[J].SIAM Journal on Scientific and StatisticalComputing, 1990, 11(5):873-912.

P. A. Businger，G. H. Golub. Singular value decomposition of a complex matrix[J]. communications of the acm, 1969.

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