多面体与球：2010年全国卷题10

2010年全国卷题10

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

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【解析】

棱柱的底面为正三角形，其处接圆的直径

根据勾股定理可得：

球的表面积为

结论：选项B正确。

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【提炼与提高】

本题难度适中，需要综合多方面的知识完成解答：

第1关：根据正三角形的边长计算其外接圆半径。根据正弦定理有以下公式：

第2关：作出俯视图、侧视图。注意：俯视图是正三角形，但侧视图不是正方形，而是一个矩形。这是一个易错点。

第3关：根据勾股定理，计算出球体的直径和半径。

在一个考题中综合立体几何、平面几何与三角学等多方面知识，体现了当前高考命题的趋势和方向。

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