【LeetCode】300.最长递增子序列

首先分析这个问题，以示例1为例。

已经求得最大递增子序列长度为4，而且该子序列中最后一个数为101，

那么一定存在一个数ai，使得ai以及ai之前的所有数组成的序列中，

最大递增子序列长度为3，而且该子序列中最后一个数为ai。 

我们记dp[ i ]为，从第0个数到第 i-1 个数所组成的序列中，最大递增子序列的长度。那么在示例1中，dp[ 0 ]=1；dp[ 1 ]=1；dp[ 2 ]=1；dp[ 3 ]=2；dp[ 4 ]=2；dp[ 5 ]=3；dp[ 6 ]=4；dp[ 7 ]=4.

示例2中，dp[ 0 ]=1；dp[ 1 ]=2；dp[ 2 ]=2；dp[ 3 ]=3；dp[ 4 ]=3；dp[ 5 ]=4.

可以看出dp[ i ]的值是依次以某种规律递增的。

但由于要求是严格递增的子序列，因此ai之前比ai大的数就不再纳入考虑。

综上所述，dp[ i ]的值可以这么确定：找到ai之前比它小的数ak，dp[ i ]=dp[ k ]+1，最后为了使dp[i]最大，就必须使dp[ k ]最大，因此要在ai之前的数里找到最大的dp[ k ]，由此就得到了dp[ i ]。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector& nums) {
        int dp[2510]={0};
        int len=nums.size();
        for(int i=0;i

 需要注意的是：这种方法最后需要遍历一遍dp数组来找出最大值，因为如果给出的序列如下：

元素：1，3，6，7，9，4，10，5，6

编号：0   1    2    3    4   5    6     7    8

那么dp[ 6 ]=6，但是计算dp[ 5 ]时，由于6、7、9都比4大，因此只考虑了dp[ 5 ]=max(dp[ 5 ]，dp[ 1 ]+1)，而dp[ 1 ]=2，故dp[ 5 ]=3；这就导致计算dp[ 7 ]=max(dp[ 7 ]，dp[ 5 ]+1)=4，同理dp[8]=5，如果直接输出dp[ len ]，就错了。