【数学建模】Day01——层次分析法

1. 引出层次分析法

1.1 思考问题

• 我们评价的目标是什么？
• 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
• 评价的准则或者评价的指标是什么？(我们根据什么东西来评价好坏)

一般来说，我们评价某种决策的优劣时，就已经确定好我们所要评价的目标以及可选的方案，也就是解决问题的途径，我们需要解决的，只有第三个问题—— 评价标准，此时我们可以借助背景材料、常识及网上搜集到的资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

1.2 平台借力

• 关于搜文献，这里推荐的资源有：
  • 知网
  • 万方
  • 百度学术
  • 谷歌学术
• 关于快搜的网站：虫部落（网站点击这里）
• 关于用手机的便捷搜索：
  • 谷歌搜索/百度搜索（国外访问不了的话）
  • 微信小程序搜索
  • 知乎搜索

1.3 分而治之的思想

• 主体是：两个两个进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。
• 权重的标度如下表所示
  

此时我们举个例子，假设我们在众多旅游景点之中选择一个景点去旅游，如何对所列举的景点的标准进行权衡呢? 我们只需要对景点的各个评判标准进行两两比较(下图中绿色的部分，即i行j列行数相对列数的标度情况)，同理白色部分则是j行i列行数相对列数标度的情况，与上述正好相反，所以绿色区域是白色区域相对应的倒数。【这里的重要性可以理解为对某件事的满意度】

1.4 一致矩阵

• 各行(各列)之间成倍数关系的两个正互反矩阵（正互反矩阵：矩阵每个元素Aij>0且满足Aij×Aji=1的矩阵）
• 特点：Aik = Aij × Ajk
• 注：在使用判断矩阵求和之前，必须要对其进行一致性检验

如下图展示的分别是判断矩阵和一致矩阵，那怎么求得两个矩阵的一致性呢【也就是两个矩阵的相似程度呢？？】这个时候就是要对矩阵进行一致性检验，看两个矩阵的不一致的结果是否在矛盾范围之内。

1.5 一致性检验

1. 引领
   
   
2. 步骤
   ① 计算一致性指标CI
   
   ② 查找对应的平均随机一致性指标RI
   
   ③判断一致性比例CR
   

• 如果CR < 0.1,则认为判断矩阵的一致性可以接受；否则CR >= 0.1,则说明矩阵不一致，需要对判断矩阵进行修正

1.6 一致矩阵计算权重

1. 直接看例题比较好理解，看下图。针对景点这方面而言，假设苏杭重要性为1
2. 归一化处理
   

1.7 判断矩阵求权重

• 算术平均法求权重
  • 将判断矩阵按照列归一化（每个元素除以其所在列的和）
    
    
  • 将归一化的各列相加（按行求和）
  • 将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
    
    
• 几何平均法
  • 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
  • 将新的向量的每个分量开n次方
  • 对该列向量进行归一化即可得到权重向量
    

3. 特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值为1，其余特征值为0

• 求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
• 对求出的特征向量进行归一化即可得到权重
  

4. excel表快速计算权重时，用F4锁定单元格
   

2. 层次分析法

2.1 定义

• 层次分析法(The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。

• AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较.上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较.上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

2.2 具体步骤

1. 分析系统各因素的关系，建立系统的层次结构——目标层、准则层、方案层
   【推荐软件——亿图图示】
   
2. 对于同一层次的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）

方程的判断矩阵可以借助互联网查询相关资料

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）

• 三种方法计算权重
  • 算术平均法
  • 几何平均法
  • 特征值法

在比赛时，为了保证结果的准确性和稳健性，建议采取三种方法都计算权重，再根据所得权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，避免单一方法所产生的偏差，使得出的结论更全面、更有效。

• 一致性检验步骤在上面第1.5节

4. 计算各层元素系统目标的合成权重，并进行排序
   

2.3 局限性

• 评价决策层不能太多，n越大，判断矩阵和一致矩阵差异可能越大
• 如果使决策层中指标的数据是已知的，我们无法利用层次分析法使数据更准确