倍数和因数

不久前，我们选择“倍数和因数”开展了“同课纵向异构”研究，所谓“纵向异构”就是同一个学习主题内容针对不同年级的学生，设计不同的学与教的路径，以探寻学生学习可能性的行动研究。

现有的教材体系，一般把“倍数和因数”安排在中高段，其知识逻辑起点在“整数”范围内。由于整除性的概念繁多，而且彼此联系紧密，有些概念非常容易混淆，例如倍和倍数，因数、素数和素因数等，成为学习难点。正因如此，新教材把整除性的概念分散到两个单元进行学习，把倍数和因数、奇数和偶数、合数和素数，以及2、3和5倍数的特征安排在一个单元内学习，而公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数安排在“分数的意义”这一单元学习，一定程度上分散了难点，降低了学习的难度。但是由于整除性的概念相对抽象，学生又缺少前期直观活动经验的有效积累，学生在单位时间内高密度学习几十个数论概念，困难仍然很大。

我们纵向异构“倍数和因数”一课的旨意在于，在不同学段学习“倍数和因数”，从时间轴上建立起学习“倍数和因数”的“合理时序”，从而真正降低其学习难度。那么，每个时间段学习“倍数和因数”的教学价值与意义的“异构性”也就显现出来。

一年级学习“倍数和因数”：在学生学习了“乘法口诀”的基础上，旨在探索基于学生的直观性的图式经验，通过动手操作与观察，自主实验小正方形可否摆成长方形，在此基础上，认识倍数与因数这两个“名字”，初步感受倍数和因数的含义。积累起直观与操作的可视性学习经验。

二年级或三年级学习“倍数和因数”：基于“倍”的知识，旨在探索“倍”、“倍数”、“因数”之间的联系，通过多元表征，初步认识倍数和因数的含义，理解倍数与因数的相互关系。积累起多元表征与自主构建概念的经验，以及探寻概念之间关联性的思维路径。

四年级或五年级学习“倍数和因数”：从“整除性”范围出发，通过想象拼长方形的活动，认识并理解因数和倍数，发现并掌握寻找一个数的因数和倍数的方法及个数特征，体会一个数的倍数与因数之间相互依存的关系。经历“想象拼摆”和“自主探索”的概念形成过程，发展学生的数感和思维的概括性与推理性。

“倍数和因数”的同课纵向研究，一方面在探寻学生学习的可能性，确定学习该概念的思维路径；另一方面，也可能为今后教材的编写带来一定的启示。