坐标变换和坐标系变换学习记录

坐标系旋转是坐标变换的逆过程

A frame 到B frame的坐标系变换T(AB)，也表示B frame 在A frame 中的位姿描述，也代表了把一个点从B frame里的坐标变换成在A frame里坐标的坐标变换。

如果我们已知某个点在相机坐标系C下的坐标pc,  现在我们要求该点在世界坐标系W下的坐标pw,那么此时我们就会有这样一个公式:

这里，Twc就是我们所说的坐标变换矩阵，同时他也是从世界坐标系W到相机坐标系C的坐标系变换矩阵。

一般在用旋转矩阵进行计算的时候，都是在描述坐标变换，比如某个坐标在另一个坐标系中的坐标值。而该旋转矩阵的值可以根据坐标系的旋转信息给出。

比如

上面这个旋转矩阵是根据坐标系的旋转信息得出，然后可以用来求取坐标的变换。

比如

首先车身坐标系顺时针旋转90度得到imu坐标系，即车身坐标系按照右手法则绕z轴负方向旋转90度，也就是车身坐标系按照右手法则旋转-90度，这样把a=-90度，代入到上面的式子2中，可以得到车身坐标系到imu坐标系的旋转矩阵T(-90度)。如果要把车身坐标系下的坐标P1转换到imu坐标系下的坐标需要使用的旋转矩阵就是T(90度)。坐标变换就是将该点P1在自身车身坐标系中右手定则正方向旋转90°，得到了在imu坐标系中的坐标值。总结一下这里由车身坐标系的P1到imu坐标系中P2点旋转矩阵的旋转角度是右手法则绕Z轴正方向旋转90°，但是从车身坐标系旋转到imu坐标系是绕Z轴右手法则正方向旋转-90°。

已知车身坐标系的点P1， 我们的目的是求P1在IMU坐标系的坐标P2。

我们只能通过旋转矩阵来计算出来P2，并不是描述坐标轴旋转 α ° \color{red}\alpha° α°，因为你旋转 α ° \color{red}\alpha° α°还是得通过旋转矩阵才能得到具体结果坐标。那么，前面计算得到的车辆坐标系下的旋转矩阵是右手法则绕Z轴正方向旋转90°，而从车辆坐标系到imu坐标系需要绕车辆坐标系的Z轴右手法则正方向旋转-90°，正好一正一负，即坐标系旋转是坐标变换的逆过程。

对于坐标轴旋转需要旋转两次的情况，可以自己做一下测试，应该还是一样顺序，例如坐标轴先绕X轴旋转a°，再绕Z轴旋转b°，那么坐标变换就是旋转矩阵先绕X轴旋转-a°，再绕Z轴旋转-b°，而不是旋转矩阵先绕Z轴旋转-b°，再绕X轴旋转-a°。我这里没验证，按照我代码里面的应该是这样。

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关于右手坐标系与右手法则：

如果不明白这两个概念，可以参考右手坐标系与右手定则。

右手坐标系是用来指定X、Y、Z轴的正方向，并不能随意指定X、Y、Z轴的正方向；

右手定则是用来规定绕某轴旋转的正方向。右手法则的四指旋转方向为正。