数位DP样题

数位dp的题目一般会问，某个区间内，满足某种性质的数的个数。

1. 利用前缀和，比如求区间[l,r]中的个数，转化成求[0,r]的个数 [0,l-1]的个数。
2. 利用树的结构来考虑（按位分类讨论）
   
   P8764 [蓝桥杯 2021 国 BC] 二进制问题

#include
using namespace std;
const int N=70;
long long f[N][N];
long long n,k;
void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        if(!j) f[i][j]=1;
        else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
}

long long dp(long long n)
{
    if(!n) return 0;
    vector<int>vec;
    while(n) vec.push_back(n%2),n/=2;
    long long res=0,last=0;
    for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=vec[i];
        if(x)
        {
        	res+=f[i][k-last];
            last++;
        	if(last>k) break;
        }
        if(!i&&last==k) res++;
    }
    return res;
}

int main()
{
	init();
    cin>>n>>k;
    cout<<dp(n)<<endl;
    return 0;
}

加强一点，处理更多种进制：

1081. 度的数量

#include
using namespace std;
const int N=35;
int f[N][N],l,r,K,B;
//预处理组合数
int init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!j) f[i][j]=1;
            else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
}

int dp(int n)
{
    if(!n) return 0;
    vector<int>vec;
    while(n) vec.push_back(n%B),n/=B;//十进制转成B进制
    int res=0,last=0;
    //res记录答案数，last表示用了多少个1
    for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=vec[i];//取出第i位数
        if(x)//（如果当前位x==0直接进入右分支，讨论下一位）
        {
            res+=f[i][K-last];
            //当前位填0，从剩下的所有位（共有i位）中选K-last个数。
            //对应于：左分支中0的情况，合法
            if(x>1)
            {
                res+=f[i][K-last-1];
                break;
            }
            else//x==1，直接讨论下一位，可用的1的个数减1
            {
                last++;
                if(last>K) break;
            }
        }
        if(i==0&&last==K) res++;//遍历到最后一位且最后一位取1
    }
    return res;
}
int main()
{
    init();
    cin>>l>>r>>K>>B;
    cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    return 0;
}

1082. 数字游戏

#include
using namespace std;
const int N=15;
int f[N][N],l,r;
//f[i][j]表示一共有i位，且最高位为j的数的个数

int init()
{
    for(int j=0;j<=9;j++) f[1][j]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
            for(int k=j;k<=9;k++)
                f[i][j]+=f[i-1][k];
}

int dp(int n)
{
    if(!n) return 1;
    vector<int>vec;
    while(n) vec.push_back(n%10),n/=10;
    int res=0,last=0;
    //res记录答案数，last表示上一位的数字
    for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=vec[i];//取出第i位数
        if(last>x) break;//这一位数无论怎么取都比上一位小
        for(int j=last;j<vec[i];j++)//进入左分支讨论
            res+=f[i+1][j];
        last=x;//更新lat
        if(!i) res++;//到了最后一位，剩下一种合法的情况
    }
    return res;
}
int main()
{
    init();
    while(cin>>l>>r)
        cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    return 0;
}

1083. Windy数

#include
using namespace std;
const int N=11;
int f[N][N],l,r;
//f[i][j]表示一共有i位，且最高位为j的数的个数
//存的是（包含前导零）的情况
int init()
{
    for(int j=0;j<=9;j++) f[1][j]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
            for(int k=0;k<=9;k++)
                if(abs(j-k)>=2) f[i][j]+=f[i-1][k];
}
int dp(int n)
{
    if(!n) return 0;
    vector<int>vec;
    while(n) vec.push_back(n%10),n/=10;
    int res=0,last=-2;
    //res记录答案数，last表示上一位的数字
    for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=vec[i];//取出第i位数
        for(int j=(i==vec.size()-1);j<x;j++)//首位不能取到零，其他位可以
            if(abs(j-last)>=2) res+=f[i+1][j];
        if(abs(x-last)>=2) last=x;
        else break;
        if(!i) res++;
    }
    for(int i=1;i<vec.size();i++)
        for(int j=1;j<=9;j++)
            res+=f[i][j];//特判首位为零的情况
    return res;
}

int main()
{
    init();
    cin>>l>>r;
    cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    return 0;
}

1084. 数字游戏 II

f[i][j][k] 表示一共有i位，且最高位数字是j，且所有位数字和%P结果为k的数的个数，若要转移到f[i][j][k]的状态，在i-1位对于每个x（x取值0~9）都应使第三维为(k-j)%P
状态转移方程：
$f[i][j][k]={\sum }_{k=0}^{P-1}{\sum }_{x=0}^{9}f[i-1][x][(k-j)\%P]$

用last表示到当前为止，前面数位上的数字之和，对此，当前第i位数字为j，前面数字之和为last，那么
后i位(包括j这一位)数字之和sum与last的关系就是
(last+sum)%N==0,那么sum%N==(-last)%N,
所以res+=f[i+1][j][(-last%N)];

#include
using namespace std;
const int N=11;
int f[N][N][110],l,r,P;
//f[i][j][k]表示一共有i位，且最高位数字是j，且所有位数字和%P结果为k的数的个数
int mod(int u,int v)
{
    return (u%v+v)%v;
}
int init()
{
    memset(f,0,sizeof f);
    for(int i=0;i<=9;i++) f[1][i][i%P]++;
    for(int i=2;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
            for(int k=0;k<P;k++)
                for(int x=0;x<=9;x++)
                    f[i][j][k]+=f[i-1][x][mod(k-j,P)];
}

int dp(int n)
{
    if(!n) return 1;
    vector<int>vec;
    while(n) vec.push_back(n%10),n/=10;
    int res=0,last=0;
    //res记录答案数，last表示前面所有位数上数字的和
    for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=vec[i];    
        for(int j=0;j<x;j++)  //第i位放0~x-1
            res+=f[i+1][j][mod(-last,P)]; //0~i位，所以一共有i+1位
        last+=x;
        if(!i&&last%P==0) res++;
        
    }
    return res;
}

int main()
{
    while(cin>>l>>r>>P)
    {
        init();
        cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

1085. 不要62

#include
using namespace std;
const int N=11;
int f[N][N],l,r;
//f[i][j]表示一共有i位，且最高位为j的数的个数

int init()
{
    for(int j=0;j<=9;j++) 
        if(j!=4) f[1][j]=1；//一位不含5
    for(int i=2;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
        {
            if(j==4) continue;
            for(int k=0;k<=9;k++)
            {
                if(k==4||(j==6&&k==2)) continue;
                f[i][j]+=f[i-1][k];
            }
        }
}
int dp(int n)
{
    if(!n) return 1;
    vector<int>vec;
    while(n) vec.push_back(n%10),n/=10;
    int res=0,last=0;
    //res记录答案数，last表示上一位的数字
    for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
    {
        int x=vec[i];//取出第i位数
        for(int j=0;j<x;j++) 
        {
            if(j==4||(j==2&&last==6)) continue;
            res+=f[i+1][j];
        }
        if(x==4||(x==2&&last==6)) break;
        last=x;
        if(!i) res++;
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();
    while(cin>>l>>r,l||r)
        cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    return 0;
}

P8801 [蓝桥杯 2022 国 B] 最大数字

DFS，两个分支：用A处理/用B处理

#include
using namespace std;
long long n,ans;
int A,B;
vector<int>vec;

void dp(int index,int a,int b,long long res)
{
	//cout<<"index:"<
    if(index==-1)
    {
    	//cout<<"***"<
    	ans=max(ans,res);
    	return;
	}
    int x=vec[index];
    if(x==9)
    	dp(index-1,a,b,res*10+x);
    if(a&&x!=9)
    {
    	int pl=min(a,9-x);
    	dp(index-1,a-pl,b,res*10+x+pl);
	}
    if(b>=x+1&&x!=9)
    	dp(index-1,a,b-(x+1),res*10+9);
    dp(index-1,a,b,res*10+x);
}

int main()
{
    cin>>n>>A>>B;
    while(n) vec.push_back(n%10),n/=10;
    dp(vec.size()-1,A,B,0);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

P4317 花神的数论题

#include
using namespace std;
const int mod=10000007;
long long n,ans=1,cnt;
const int N=70;
long long f[N][N],num[N];
vector<int>vec;

void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        if(!j) f[i][j]=1;
        else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
}

long long ksm(long long base,long long power)
{
	base%=mod;
	long long res=1;
	while(power) 
	{
		if(power&1)		
			res=res*base%mod;	
		power>>=1;
		base=base*base%mod;
	}
	return res;
}

long long dp(long long n)
{
	while(n) vec.push_back(n&1),n>>=1;
	for(int i=vec.size()-1;i>=0;i--)
	{
		int x=vec[i];
		if(x)
		{
			for(int j=1;j<=i;j++)
				num[cnt+j]+=f[i][j];
			++num[++cnt];
		}
	} 
	for(int i=0;i<vec.size();i++)
		ans*=ksm(i+1,num[i+1]),ans%=mod;
	return ans%mod;
}

int main()
{
	init();
	cin>>n;
	cout<<dp(n)<<endl;
	return 0;
}

P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S

#include
using namespace std;
int l,r;
const int N=35;
int f[N][N];
//预处理组合数 
void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        if(!j) f[i][j]=1;
        else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
}

int get(int x)
{
    vector<int> num;
    while(x) num.push_back(x%2),x/=2;
    int n=num.size();
    int res=0, last=0;
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        if(num[i]) for(int j=max((n+1)/2-(last+1),0);j<=i;j++) res+=f[i][j];
        else last++;
        if(!i&&last>=(n+1)/2) res++;  
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=(i+1)/2;j<i;j++)
            res+=f[i-1][j];
    return res+1;
}
int main()
{
	init();
	cin>>l>>r;
	cout<<get(r)-get(l-1)<<endl;
	return 0;
}

P2602 [ZJOI2010] 数字计数

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[20],cnta[20],cntb[20],ten[20],l,r;

void solve(long long x,long long *cnt)
{
    long long num[20]={0};
    int len=0;
    while(x) num[++len]=x%10,x=x/10;
    for(int i=len;i>=1;i--)
    {
        for(int j=0;j<=9;j++)
        cnt[j]+=f[i-1]*num[i];
        for(int j=0;j<num[i];j++)
        cnt[j]+=ten[i-1];
        long long num2=0;
        for(int j=i-1;j>=1;j--)
            num2=num2*10+num[j];
        cnt[num[i]]+=num2+1;
        cnt[0]-=ten[i-1];
    } 
}

int main()
{
	cin>>l>>r;
	ten[0]=1;
	for(int i=1;i<=15;i++)
	{
        f[i]=f[i-1]*10+ten[i-1];
        ten[i]=10*ten[i-1];
    }
    solve(l-1,cnta);
    solve(r,cntb);
    for(int i=0;i<10;i++)
    	cout<<cntb[i]-cnta[i]<<' ';
	return 0;
}