固体物理难点

晶体基础

倒格子

矢量

周期结构的物理量是相同的（如静电势能）。其函数可以写作

是以,,为周期的三维周期函数。为了将其展开成傅里叶级数，可以引入倒格子。
引入基本矢量

其矢量方向垂直于晶面。

根据倒格子基矢，可以构建倒格子“格点”。格点构成倒格子空间

与波矢K有相同的量纲，属同一“空间”。
满足

因此原胞内一点 （）晶格的周期函数为；用傅里叶级数展开为： 为整数
其逆变换为：

可得：，将其带入

进而得到：

而之前有定义，代入得到

其逆变换为：

用代入，可得：

因此，是在到空间的“映像和表述”，他们之间满足傅里叶变换的关系。

倒格子与正格子的关系

倒格子体积：

由于
令
可得
最终得到：
根据空间的维度n，乘以

倒格矢与晶面

晶面与最短倒格矢正交

证明如下：

晶面族中最靠近原点的晶面ABC在基矢,,上的截距为，，，只需证明与ABC中两边垂直即可；其中，，；如果并且。
因为，因此满足条件。

倒格矢的长度正比于晶面族的间距的倒数

证明如下

因为倒格子矢量为晶面的法线方向。
晶面族面间距

布里渊区

定义：在倒易格子中取某一倒易阵点为原点，作所有倒格矢的垂直平分面，倒易格子被这些面划分为一系列的区域，这些区域就是布里渊区。其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由另一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒易格子的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布拉格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒格矢的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒格矢的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。

第一布里渊区

第一布里渊区就是倒格子的维格纳-塞茨原胞，如果对每一倒格子作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发的能量和状态都是倒格子的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量（频率）和波矢关系。

第一布里渊区又称约化布里渊区或简约布里渊区，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。简约布里渊区中的一个波矢可能对应有几个不同的能量状态。该区域内的波矢即称为简约波矢。简约布里渊区的形状因晶体结构而异；实际上可由晶格的倒格子的Wigner-Seitz原胞给出。

布拉格反射、劳厄方程

布拉格反射公式
劳厄方程：Bragg方程给出了格点上的点电荷散射波相干的条件，是点阵周期性导致
的结果，但是只能给出衍射加强的条件，不能给出衍射强度的分布。当一束光子入射到晶体上，由于受核外电子的散射，将从一个光子态跃迁到另一个光子态。假设散射势正比于晶体中电子密度，。根据微扰论，出态和末态之间的跃迁矩阵元为

已知光子的平面波态
得到
X射线的散射振幅正比于跃迁几率，因此方向散射波振幅可写为：
从经典衍射理论来看， 给出了入射波和出射波的位相差,而 是相因子。因此，波振幅还可以看做方向上散射波的总振幅比例于电子密度及其相因子的乘积在整个晶体体积内的积分。

计算举例

若整个空间内只有一个电子（点电荷），则

因此，比例系数相当于一个电子的散射振幅。

拓展——因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性,可以将电子密度函数作傅里叶展开：

代入得到：
又因：
可得散射波振幅：
其意义为——为散射波矢。当其等于倒格矢时，指数的幅角为零。当散射波矢不等于倒格矢时，小到可以忽略。

结论——仅当波矢满足时，可以观察到衍射束。
意义——实质上是光子在周期结构中传播时，动量守恒的体现，光子将动量转移给了晶体，由于晶体质量太大，以至观察不到晶体的平动。

由劳厄方程推导布拉格反射

而，，。可得到即即

因此，一个由倒格矢确定的劳厄衍射峰对应于一族正点阵平面的一个布拉格反射，该晶面垂直于，布拉格反射的级数是n,即与该方向上最短倒格矢的长度之比。一组晶面的面间距是一定的，所以高级衍射实际上是同一族晶面不同角度的衍射，其衍射角大于一级衍射角。在晶体衍射中，通常把对应的指数 称为衍射面指数，而在晶面密勒指数中，公因子n已消去。

由劳厄定理可知， X射线衍射强度决定于电子密度函数的傅立叶变换分量

如已知，则可得到

点散射模式

假设每一个正点阵的格点上有一个电子
[图片上传中...(image.png-270a1f-1623138298771-0)]

则散射波振幅

当满足劳厄条件时，散射波振幅为所有电子散射波振幅之和，其散射光强度为

假设每一个正点阵的格点上有一个原子

image.png

N为总格点（原胞）数，令，有
利用
——称为原子散射（形状）因子

此时散射波振幅

所以原子散射因子实际上是原子内所有电子的散射幅与一个电子的散射幅之比。

给出一个特殊情况，如果电子密度函数是球面对称的，则上式可以简化，将自变量由改为，为此引入径向分布函数：
表示电子在半径为r 到r + dr 的球壳内的几率，
如果取 为极轴,则：





由此可见，原子散射因子和散射波矢有关，在的特殊情况下，
——等于原子中电子的数目。进而，由于原子内电子数目和分布不同， 不同原子的原子散射因子不同， 同时与散射波矢有关。

假设每个原胞不止有一个原子

image.png

这种情况下

而 是第 原胞中，第\vec{r}_{j}个原子的电子密度分布。

为总原胞数， 为原胞中包含的原子数，令 ，有

得到新函数——称为原胞几何结构因子(对原胞中所有原子求和)
——被称为原子散射（形状）因子

将代入散射波振幅，得到

式中

因此原胞几何结构因子

根据散射波振幅

衍射消光

讨论即使在满足劳厄方程时，如果原胞几何结构因子，也可能导致散射幅为零，称衍射消光。
即
很显然，只有在原胞内原子多于一个时才有可能，导致散射幅为零。

**在实验上或晶体学中，人们习惯采用单胞以及晶面的密勒指数，因此在讨论衍射问题时，必须考虑晶体的特殊对称性，常常采用单胞。

image.png

为总单胞数， s为单胞中包含的原子数，令，有



因此被称为单胞几何结构因子，对单胞中所有原子求和（原子散射因子）

根据散射波振幅


显然单胞的结构因子与散射波矢有关，由于衍射加强的条件随所考虑的晶面族而定。单胞的结构因子表示为对晶面族密勒指数的依赖关系更有意义，即对应于晶面族的反射。由于：

其中是单胞基矢定义的倒格子基矢，因此

可以得到散射波振幅

单胞的结构因子不必为实数，但是衍射强度正比于的模的平方必定为实数。 单胞的结构因子实际上是单胞内所有原子的散射波，在所考虑的方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。
进而得到消光条件：
单胞的结构因子

衍射强度

如果单胞的结构因子等于零，导致空间点阵所允许的反射抵消，称为衍射消光。

晶格振动

布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。

只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下， 振动模式才是独立的。由于晶体的平移对称性， 振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。

用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。

简谐近似和简正坐标

【量子力学知识】
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
—— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和
—— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的
—— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式
—— 这些谐振子的能量量子，称为声子
—— 晶格振动的总体可看作是声子的系综

研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的简单晶体
第n个原子的平衡位置偏离平衡位置的位移矢量，原子的位置为，3个方向上的分量
N个原子的位移矢量
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开，得：

取，平衡位置——不计高阶项。
系统地势能函数
系统地动能函数
系统的哈密顿量
由于存在相交项，无法写成单粒子的哈密顿量。通过引入简正坐标
原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：

系统的哈密顿量
由于动能函数是正定的，根据【线性代数理论】，一个实的对称方阵，总可以找到一个正交变换，使其对角化，即，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。势能系数为正值，写成 。
因此，拉格朗日函数，动能-势能

由拉格朗日函数可得正则动量
将哈密顿量代入，正则方程 正则动量
可得：——3N个独立无关的方程
因此，简正坐标方程解
振动模——简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动，振动频率相同

以及

通过正交变换

系统能量本征值计算
正则动量算符
系统薛定谔方程
其中任意一个简正坐标满足——谐振子方程
【对于一个谐振子方程，其解是量子化的】
能量本征值
本征态函数 其中
为厄密多项式
而体系的本征态为：

体系能量的本征值为：

因此晶格上原子微振动问题可以简化为3N种不同声子的统计问题。

一维单原子链

晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波

由N个原子组成的一维单原子链，其振动模为N个格波，在简谐近似下，格波是相互独立的。N个独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。

格波的研究
—— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程

运动方程考虑一维单原子链晶格振动问题时，通常有两点基本假设，一是原子间的相互作用势能只考 虑到平方项，即简谐近似;另一个是只考虑最近邻 原子间的相互作用。

image.png

一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平 衡时原子间距a

分析原子之间的作用力

第n个原子离开平衡位置的位移
第n个原子和第n+1个原子间的相对位移

第n个原子和第n+1个原子间的距离

平衡位置时，两个原子间的相互作用势能
发生相对位移 后，相互作用势能，其用泰勒级数展开后，得
其中，是常数， 是平衡条件

image.png

因此，相邻原子间的作用力，其中
第n个原子所受的总作用力为：
只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力为

第n个原子的运动方程

——第N个原胞中的原子有N个完全类似的运动方程。

格波解和振动频率
寻找具有下列格波形式的解

其中A为振幅，为园频率，为波数，naq为第n个原子振动位相因子，如果e为波的传播方向的单位矢量，则为波矢。代入上式得到：


通常写成
注意上式和具体原子的标记n无关，表面N个联立的方程归结为同一个方程。将和q之间的关系称为色散关系。

由上可知，格波解


格波的波速为
~——一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱。
格波解的意义——所有原子同时做频率为的振动
格波和连续介质波的区别
连续介质波
波数
——格波和连续介质波具有完全类似的形式
格波和连续介质波有完全类似的形式，区别在于
1.“连续介质波”x表示空间任意一个质点的位置。“格波”中，只有在固定位置才有原子。
2.波长为4a和4a/5的“连续介质波”是完全不同的波，而格波则代表完全等价的波，因为原子离开平衡位置的位移量完全相同

波矢的取值和布里渊区

相邻原子位相差aq——原子的振动状态相同