计算自相关系数acf和偏相关系数pacf

时间序列分析中，自相关系数ACF和偏相关系数PACF是两个比较重要的统计指标，在使用arima模型做序列预测时，我们可以根据这两个统计值来判断模型类型（ar还是ma）以及选择参数。目前网上（百度）关于这两个系数的资料已经相当丰富了，不过大部分的内容都只着重于介绍它们的含义以及使用方式，并没有对计算方法有详细的说明。所以虽然这两个系数的计算比较简单，但是我认为还是有必要做一下总结说明，以便于其他人作为参考。本文的内容将主要集中于如何计算ACF和PACF，关于这两个系数的介绍和说明，大家可以参考网上的博客。

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1. 变量说明

首先对基本变量做一下说明，后续的公式和计算都将以这些变量为准。

我们用变量表示一个时间序列，表示序列中的第个点，，表示序列的长度。

序列的均值：

序列的方差：

序列的标准差：

对于长度一样的两条不同序列和，可以使用协方差来刻画它们的相关性。

序列的协方差：

协方差的值越大，说明序列和的相关性越强（大于0时为正相关，小于0时为负相关）。类似地，对于序列，我们根据序列的滞后次数来计算对应的序列自协方差，

序列的自协方差（有偏）：

对于，我们有两种估计值，有偏估计（上式）和无偏估计，

序列的自协方差（无偏）：

可以注意到，进一步地，我们根据序列的自协方差来定义序列的自相关系数：

序列的自相关系数（有偏）：

序列的自相关系数（无偏）：

后续关于PACF的计算将以无偏估计值（和）为代表，大家可自行替换为有偏估计（和）。

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2. 序列的自相关系数ACF

由前文易得ACF的计算公式：

自相关系数ACF（无偏）：

自相关系数ACF（有偏）：

代码（python）如下

import numpy as np

# acf method in statsmodels
#import statsmodels.tsa.stattools as stattools
#def default_acf(ts, k):
#    return statools.acf(ts, nlags=k, unbiased=False)

def acf(ts, k):
    """ Compute autocorrelation coefficient, biased
    """
    x = np.array(ts) - np.mean(ts)
    coeff = np.zeros(k+1, np.float64) # to store acf
    coeff[0] = x.dot(x) # N*c(0)

    for i in range(1, k+1):
        coeff[i] = x[:-i].dot(x[i:]) # (N-k)*c(i)
        
    return coeff / coeff[0]

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3. 序列的偏相关系数PACF

偏相关系数PACF的计算相较于自相关系数ACF要复杂一些。网上大部分资料都只给出了PACF的公式和理论说明，对于PACF的值则没有具体的介绍，所以我们首先需要说明一下PACF指的是什么。这里我们借助AR模型来说明，对于AR(p)模型，一般会有如下假设：

其中，是线性相关系数，是噪声，即我们假设点与前个点是线性相关的。而PACF所要表示的就是点与点的相关性，所以，

序列的偏相关系数PACF：

我们没有办法单独求解。对于一般的线性回归问题，可以使用最小二乘法（MLS）来求解相关系数，而这里可以使用Yule-Walker等式来求解，详情可以参考YW-Eshel。对于滞后次数，我们依照如下过程来构建Yule-Walker等式：

1. 首先，我们有假设的原等式:
   
2. 将等式的两边同乘以，可以得到：
   
3. 接着，对等式的两边同时求期望，可以得到：
   
4. 因为噪声项默认是0均值的，所以可以去掉噪声：
   
5. 等式两边同除以（无偏，有偏估计时，除以），同时我们又有，因此可以得到：
   
6. 最后，将等式两边同除以，可以得到：
   

根据最后的等式，我们将所有相关项列出来后，可以得到：

这里的便是之前提到的序列自相关系数ACF，同时，可以注意到，因此有

简化起见，我们令

则有等式如下，为toeplitz矩阵，
由于矩阵是对称满秩矩阵，所以存在可逆矩阵，使得，则可以求得滞后次数为的偏相关系数（上标表示第个解向量）：
代码（python）如下

import numpy as np
from scipy.linalg import toeplitz

# pacf method in statsmodels
#import statsmodels.tsa.stattools as stattools
#def default_pacf(ts, k):
#    return statools.pacf(ts, nlags=k, unbiased=True)

def yule_walker(ts, order):
    ''' Solve yule walker equation
    '''
    x = np.array(ts) - np.mean(ts)
    n = x.shape[0]

    r = np.zeros(order+1, np.float64) # to store acf
    r[0] = x.dot(x) / n # r(0)
    for k in range(1, order+1):
        r[k] = x[:-k].dot(x[k:]) / (n - k) # r(k)

    R = toeplitz(r[:-1])

    return np.linalg.solve(R, r[1:]) # solve `Rb = r` to get `b`

def pacf(ts, k):
    ''' Compute partial autocorrelation coefficients for given time series，unbiased
    '''
    res = [1.]
    for i in range(1, k+1):
        res.append(yule_walker(ts, i)[-1])
    return np.array(res)

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4. 总结

对如何计算自相关系数ACF和偏相关系数PACF的介绍就到这里了，由于本人并非统计学相关专业，上述内容是基于个人对网上资料和开源代码（python：statsmodels）的理解所总结的，存在错误，烦请指出，本文仅作为各位学习相关算法的参考。