高中奥数 2022-02-28

Schur不等式:设,则

(即:.).

一般地,Schur不等式为:设,,则

证明不妨设,则

Schur不等式的如下两个变形形式在解题中非常有用:

变形I：.

变形Ⅱ:.

事实上,把展开即得变形I,因为,代入变形得


所以.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P020 例24）

证明:在中,有

证明

令,,,则由Schur不等式可得



所以.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P020 例25）

设,且,求证:

证明

由Schur不等式的变形Ⅱ,得

由题设条件,得


另一方面,

从而命题得证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P021 例26）

设,且,求证:

证明

因为,所以等价于

即,

这就是Schur不等式的变形I.故命题得证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P021 例27）

设,求证:

证明

由Schur不等式的一般形式中,令,得

所以.

又因为,

所以

在式中,令,,,得


下证.

事实上,由,得

所以,

故.