【C++ 重要知识点总结】进制与编码

1 进位计数

数制

• 2进制----字面量0b
• 8进制----字面量0
• 10进制—无
• 16进制0x-字面量0x

数制转化

• r进制数转化成十进制
  $$I=a_{n-1}\times r^{n-1}+\cdots +a_0\times r^0$$
• 十进制整数转化r进制数——除r取余法
  $$\frac{I}{r}=\frac{a_{n-1}\times r^{n-1}+\cdots +a_0\times r^0}{r}+\frac{a_0\times r^0}{r}$$
• 十进制小数转化r进制数——乘r取整法
  $$f=a_{-1}\times r^{-1}+a_{-(m-1)}\times r^{-(m-1)}+a_{-m}\times r^{-(m-1)}$$

为什么十进制相对其他进制来说特殊，因为我们在计算的时候，加减乘除，全部都使用十进制的法则，所以十进制计算表达起来更简单。

2 数值编码

• $2^{n-1}$表示最高位是1
• $2^n$表示最高位的溢出位为1

原码

$$(X{)}_y=\{\begin{array}{lr}X& 0\le X<2^{n-1}\\ 2^{n-1}+|X|& -2^{n-1}<X\le 0\end{array}$$

• 关系说明： 原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值.

反码

$$(X{)}_f=\{\begin{array}{lr}X& 0\le X<2^{n-1}\\ 2^n-1-|X|& -2^{n-1}<X\le 0\end{array}$$

• 关系说明： 对于正数，反码等于补码；对于负数，反码数值位等于原码数值位按位取反。

补码

$$(X{)}_b=\{\begin{array}{lr}X& 0\le X<2^{n-1}\\ 2^n-|X|& -2^{n-1}<X\le 0\end{array}$$

• 关系说明： 为了满足数值计算，使得正数负数能够在同一的编码下进行加减计算。正数的机器数，原码，反码，补码，都是在固定字长下讨论的负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1。机器中只有加法而没有减法。

说明

• 使用补码的原因：在二进制层面负数与整数可以直接相加
• 如果使用反码。正负数数值部分是绝对值的相加，负数加一个整数反而会变更小。数值部分增大，符号位不变，是一个更小的负数。
• 为了使负数数值位的大小与负数的大小一致，进行了反向映射，即取反操作。这样负数和正数就能直接进行数值位的加减法了。
• 如果使用原码，存在一个问题，会包含两个0.+0和-0。为了避免重复，在补码中，-0，数值位最少，表示最小的负数。
• 可以从形式上理解。补码的正数和负数的数值位。都是小的小，大的大。为了遵循数值位的加法操作。

浮点数

规格化数：
$$eq=(-1{)}^s\times 2^E\times 1.f$$
s-1位符号位，E-8位指数位，f-23位小数位。提供了24位的小数（二进制）小数的精度，-126~127的指数次（二进制）范围。

3 字符编码

西文字符

ASCII 使用7位而金子编码，0~127等128个字符

汉字字符

包括输入码、字形码、国标码、机内码

汉字机内码 = 汉字国标码 + 8080H = 区位码 + A0A0H