P1463 [POI2001] [HAOI2007] 反素数

题目

题目描述

对于任何正整数x，其约数的个数记作 $g(x)$。例如g(1)=1，g(6)=4。
如果某个正整数x满足：$\forall 0<i<x\forall 0<i<x$，都有$g(x)>g(i)$则称x为反质数。例如，整数1,2,4,6等都是反质数。
现在给定一个数 N，你能求出不超过 NN 的最大的反质数么?

输入格式

一个数N

输出格式

不超过N的最大的反质数

样例

输入

1000

输出

840

说明/提示

$1\le N\le 2\times 10^9$

思路与证明

第一眼看上去：暴搜，倒着枚举，输出第一个反素数
第二眼：2e9
好吧，暴搜明显是会TLE的，所以我们只能换个思路
g(x)怎么求呢？枚举所有因数然后统计个数吗，太慢了
设$x=\prod p_i^{k_i}$（质因数分解定理）,则$g(x)=\prod (k_i+1)$（乘法原理）
有些蒙？举个例子$6=2^1\ast 3^1$
6的约数是哪几个呢？
不难想到
$2^0\ast 3^0=1$
$2^1\ast 3^0=2$
$2^0\ast 3^1=3$
$2^1\ast 3^1=6$
一共有6个
细心的读者都发现了为什么$g(x)=\prod (k_i+1)$是成立的
所以对于一个反素数x，假设$p_i$是单调递增的，那么$k_i$必须不升，否则将$k_i$从大到小排序后，新的x一定比原来的小而且约数个数相等（想一想，为什么），那么原来的x就一定不是反素数了
还是有些蒙？举个例子$18=2^1\ast 3^2$
这里的$k_i$是$1,2$，可以看到并不是不升序列，所以我们将它从大到小排序$2^2\ast 3^1=12$
可以看到，此时得出的新x(12)的约数个数与原来的x(18)是相等的（在上面已经证明过），又根据反素数的定义

如果某个正整数x满足：$\forall 0<i<x\forall 0<i<x$，都有$g(x)>g(i)$则称x为反质数

得出18一定不是反素数
至于在将$k_i$从大到小排序后，得出的数一定比原来的小，我们再举个例子
设$x_1=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2},x2=p_1^{k_2}{p}_2^{k_1}(k_1<k_2,p_1<p_2)$
将$x_1,x_2$分别拆成$(p_1{p}_2{)}^{k_1}\ast {p_2}^{k_2-k_1}$和$(p_1{p}_2{)}^{k_1}\ast {p_1}^{k_2-k_1}$
两个数谁大谁小一目了然
因为前9个质数(2,3,5,7,11,13,17,19,23)乘积已经超过了$2\ast 10^9$，所以我们只需要枚举这9个质数的指数就可以找出所有能够成为反素数的数
理论存在，实践开始！

代码详解

#include
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=1e6+5;
int p[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
int tot,n;
pair<int,int> a[maxn];//(i,g(i))
void dfs(int i,int last,int pi,int g){
//i表示搜到第几个质数
//last表示上一个质数的指数
//pi表示当前因数
//g表示当前答案的约数个数
	a[++tot]=make_pair(pi,g);
	if(i>9) return;
	int pp=p[i];
	for(int j=1;j<=last;j++){//不升序列
		if(1ll*pi*pp>n) break;//若当前乘积超过n，那么直接退出循环
		pi*=pp;
		dfs(i+1,j,pi,g*(j+1));
	}
}
signed main()
{
	cin>>n;
	dfs(1,100,1,1);//默认第一个质数必选(2的100次方已经很大了)
	sort(a+1,a+1+tot);
	int maxn=a[1].second,ans=a[1].first;
	for(int i=2;i<=tot;i++) if(a[i].second>maxn) maxn=a[i].second,ans=a[i].first;
	//筛一遍，保证找到的反素数是最大的
	cout<<ans;
	return 0;
}

end

完结撒花