1.线性最小二乘法

曲线拟合问题的提法是，已知一组（二维）数据，即平面上的个点，，互不相同，寻求一个函数（曲线）使在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本思路是，令：

其中是事先选定的一组线性无关的函数，是待定系数。拟合准则是使，与的距离的平方和最小，称为最小二乘准则。

1.1.系数的确定

记：

为求使达到最小，只需利用极值的必要条件，得到关于的线性方程组：

即：

记：
$R=\left[\begin{array}{ccc}{r_{1}\left(x_{1}\right)} & {\cdots} & {r_{m}\left(x_{1}\right)} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {r_{1}\left(x_{n}\right)} & {\cdots} & {r_{m}\left(x_{n}\right)}\end{array}\right]_{n \times m}$

方程组（2）可表为：

当线性无关时，列满秩，可逆，于是方程组（3）有唯一解：

1.2.函数的选取

面对一组数据，用线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是关键的一步是恰当地选取容易确定。若无法知道与之间的关系，通常可以将数据作图，直观地判断应该用什么样的曲线去作拟合。人们常用的曲线有：

（1）直线：
（2）多项式：（一般，不宜太高）
（3）双曲线（一支）：
（4）指数函数：

对于指数曲线，拟合前需作变量代换，化为对的线性函数。
已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好，可以在直观判断的基础上，选几种曲线分别拟合，然后比较，看哪条曲线的最小二乘指标最小。

2.最小二乘法的Matlab实现

2.1.解方程组方法

在上面的记号下，

Matlab中的线性最小二乘的标准型为：

命令为：

例1 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下表所示的数据拟合。

	19	25	31	38	44
	19.0	32.3	49.0	73.3	97.8

解：编写程序如下

x=[19 25 31 38 44]';
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
r=[ones(5,1),x.^2];
ab=r\y%求出最小二乘的系数
x0=19:0.1:44;
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

这里没有用任何函数，笔者也是第一次知道反斜杠可以直接算出最小二乘算法的系数。

2.2.多项式拟合方法

如果取，即用次多项式拟合给定数据，Matlab中有现成的函数：

a=polyfit(x0,y0,m)
其中输入参数为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，输出参数为拟合多项式的系数

例2 某乡镇企业 1990-1996 年的生产利润如下表

年份	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
利润（万元）	70	122	144	152	174	196	202

试预测1997年和1998年的利润：

解：做已知数据的散点图：

x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996];
y0=[70 122 144 152 174 196 202];
plot(x0,y0,'*')

发现该乡镇企业的年生产利润几乎直线上升。因此，我们可以用作为拟合函数来预测该乡镇企业未来的年利润。编写程序如下：

x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996];
y0=[70 122 144 152 174 196 202];
a=polyfit(x0,y0,1)
y97=polyval(a,1997)
y98=polyval(a,1998)

求得，预测1997年的利润为233.4286万元，1998年的生产利润是253.9286元。

【数学建模算法】(27)插值和拟合：最小二乘法