概率论与数理统计——多方法解决-双样本方差的F检验-Excel/SPSS

本篇将结合一个例题，借助Excel工具和SPSS，分别从不同的拒绝域位置和利用不同的函数，多方法地总结双样本的F检验的思路和方法。
参数假设检验的内容请参考《概率论与数理统计——参数假设检验》

【例题】
有A、B两个语料库，从中各抽取5篇，分别统计出每篇的句数，假设两个语料库的语篇句数是正态分布，以0.05的显著水平来检验两个语料库的语篇句数的变异程度是否一致。

A	20	18	12	24	26
B	24	22	18	22	14

要想检验两个样本的变异程度是否一致，就要看二者的方差是否一致，显然采用F检验。

解法一：双尾检验+比较统计量

第一步

根据问题的要求提出：

$$原假设H_0：\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=1备择假设H_1：\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\ne 1$$

第二步

构造统计量：

$$F=\frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}$$

代入数据：

$$F=\frac{4^2/3.58^2}{1}=1.25$$

第三步

设定显著水平：
$$\alpha =0.05$$

第四步

该检验是双尾检验，利用Excel的FINV()函数，求得两个临界点为：

$$\begin{gathered} F_{\frac{\alpha }{2}}=9.065 \\ {F}_{1-\frac{\alpha }{2}}=0.104 \end{gathered}$$

比较可得：

$$0.104<1.25<9.065$$

即：

$$F_{1-\frac{\alpha }{2}}<F<F_{\frac{\alpha }{2}}$$

故，统计量位于接受域。因此，拒绝$H_1$，接受$H_0$。
结论为：95%的把握肯定， A、B语料库的语篇句数的变异程度一致。

解法二：双尾检验+比较统计量的概率

前三步参考解法一

第四步

该检验是双尾检验，利用Excel的FTEST()函数，求得双尾概率为：

$$P(F)=0.83$$

FTEST(array1,array2)函数返回的是F检验array1 和 array2 中的方差没有显著差异的双尾概率。
本方法的使用语句为：=FTEST({20,18,12,24,16},{24,22,18,22,14})。当然，在实际的操作中，可以将两个数组替换为对应的表格区域。

比较可得：

$$0.025<0.83<0.975$$

即：

$$P(F_{1-\frac{\alpha }{2}})<P(F)<P(F_{\frac{\alpha }{2}})$$

故，统计量位于接受域。因此，拒绝$H_1$，接受$H_0$。
结论为：95%的把握肯定， A、B语料库的语篇句数的变异程度一致。

解法三：左右单尾检验结合+比较统计量

这个方法的思路是，进行两次单尾检验，从而检验出$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\le 1$和$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\ge 1$同时显著成立，进而推导出$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=1$显著成立。

第一次检验：右单尾检验

第一步

根据问题的要求提出：

$$原假设H_0：\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\le 1备择假设H_1：\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}>1$$

第二步

构造统计量：

$$F=\frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}$$

代入数据：

$$F=\frac{4^2/3.58^2}{1}=1.25$$

第三步

设定显著水平：
$$\alpha =0.05$$

第四步

该检验是右尾检验，利用Excel的FINV()函数，求得临界点为：

$$F_{\alpha }=6.388$$

比较可得：

$$1.25<6.388$$

即：

$$F<F_{\alpha }$$

故，统计量位于接受域。因此，拒绝$H_1$，接受$H_0$。
结论为：95%的把握肯定，$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\le 1$。

第二次检验：左单尾检验

第一步

根据问题的要求提出：

$$原假设H_0：\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\ge 1备择假设H_1：\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}<1$$

第二步至第四步类比参考第一次检验

最后可以得到结论为：95%的把握肯定，$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\ge 1$。

综合两次的检验结果可得：95%的把握肯定，$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=1$，即 A、B语料库的语篇句数的变异程度一致。

解法四：左右单尾检验结合+比较统计量的概率

该解法的思路和解法三基本相同，只是在检验时，比较的是统计量的概率。
统计量的概率可以通过FDIST()函数来实现。

解法五：利用Excel的数据分析工具

该解法的思路是利用Excel的数据分析工具，得到双尾概率的单侧概率，进而将单侧概率与$\frac{\alpha }{2}$比较，进而得出结论。

点击Excel中的数据菜单，点击分析子菜单的数据分析按钮

然后在分析工具里选择F-检验 双样本方差，点击确定

然后在弹出的对话框里输入所要分析的两组数据的区域，并填写好参数$\alpha$，选择好输出的位置，点击确定。
注意，此时我们需要的是双尾的单侧概率，此时的参数$\alpha$应当是实际的$\frac{\alpha }{2}=0.025$。

然后会产生下面的表格：
F-检验 双样本方差分析

-	变量1	变量2
平均	18	20
方差	20	16
观测值	5	5
$df$	4	4
$F$	1.25
$P(F\le f)$	0.41701
$F$单尾临界	9.60453

小数点的位数会根据单元格的数值格式的设定变化，并非产生的一定就是表中小数体现的位数。

先解释一下表里面的数据的含义，均值和方差不必多数；这里的观测值是样本的个数；$df$是自由度，为样本的个数减一；$F$即根据公式构造的统计量的值；$P(F\le f)$即$F$的单侧概率，相当于FTEST({20,18,12,24,16},{24,22,18,22,14})/2的结果；$F$单尾临界是指双尾检验的一尾的临界点。
所以，比较可得：

$$0.41701>0.025$$
故，拒绝$H_1$，接受$H_0$，即$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=1$。

因此，有95%的把握肯定AB两个语料库的变异程度显著一致。

解法六：利用SPSS进行F检验

既然进行统计检验，当然少不了专业的SPSS。
用SPSS检验的结果如下：

其中$Sig>0.05$显然成立，因此可以判定两组数据的方差显著一致。

在SPSS中检验出的结果是1，也就是表明两组数据方差非常一致，几乎没有差别。例题的数据只是一个示例，并不符合实际的数据情况。

总结

这六种方法主要是从不同的软件出发，分别利用双尾检验或左右单尾检验的方式完成F检验，其中涉及到使用不同的Excel函数和Excel工具，这些函数和工具各有千秋，可以根据实际需求选择合适的方案。