欧拉角奇异性产生的原因

1 欧拉角奇异性的原因.

1.1 奇异性的定义

奇异性，英文Singularity, wiki中的解释为

　　In mathematics, a singularity is in general a point at which a given mathematical object is not defined, or a point of an exceptional set where it fails to be well-behaved in some particular way, such as differentiability.

翻译成中文为

　　数学中，奇异性通常指的是在一个点处，某个数学对象未被定义，或者一个集合中的某个点处的某个数学特性不好，比如不可微．

这个解释还是比较抽象。我们从Singularity 这个词的本身来看，它对应的形容词为Singular, 既有“单独的，单数的”，也有“奇特的，奇怪的”意思。而“奇异性” 作为从 Singularity 翻译过来的词，简单来说它就是指在某一点处，研究对象的性质比较奇怪。

1.2 欧拉角的奇异性问题

欧拉角有不同的描述方法，详见wiki，这里用常见的来描述飞机姿态角为例来说明，即绕着内部坐标系(intrinsic)或者机体坐标系，旋转顺序为3-2-1的姿态角描述，如图１，其中x-y-z为地面坐标系, 分别为偏航角，俯仰角，滚转角．

图1 欧拉角定义[2]

首先，我们来考虑这样一个问题

给定一个姿态，是否只有一种旋转方法使得地面坐标系 x,y,z 轴与飞行器机体坐标系的 x,y,z 轴重合，也即无人机是否只有一种的角度组合从初始姿态到给定姿态？

答案是否定的，考虑一种特殊情况，当机头向上时，即飞机呈现竖直向上飞时的姿态时，此时，为, 但是偏航角和滚装角有多种组合方式，比如，或, 如下图

图２　两种不同的旋转方法得到同样的姿态

下面给出数学上的严格推导，导出欧拉角在某些特殊位置存在不唯一的解．这里将借助于旋转矩阵，即

由地面坐标系到给定的飞机姿态可以得到唯一的旋转矩阵，详见[3]．但从是否可以推出存在唯一的 呢，如果是，则从地面坐标系到给定的飞机姿态可以推出唯一的欧拉角，但是根据上面的举例可以发现答案是否定的．那么我们现在尝试从来推出，记

则由(1) 可得

当时，

角度,不再能从(3)求出, 而从的右上角的矩阵只可以推出，即此时存在多个解．即从求出唯一的性质不能保证，此时把这种情况成为奇异．

参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Singularity_(mathematics)

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Rotation_matrix_from_axis_and_angle

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions#Conversion_formulae_between_formalisms