高中奥数 2022-01-02

2022-01-02-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 最小数原理与无穷递降法 P013 例1）

给定平面上任意个不同的点.证明:存在一个过其中两个点的圆,使得其余个点都在此圆的外部.

证明

由于个点中每两点之间的距离只有个,故必有两点(设为、),它们之间的距离最小(如果有多个这样的点对,从中任取一对即可).

现考虑以线段为直径的圆,则对内任意一点,的最长边为.由的最小性,可知剩下的个点都在圆外.命题获证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 最小数原理与无穷递降法 P013 例2）

证明:不存在有理数、、,使得

成立.

证明

将(1)两边乘以4后配方,得

如果存在满足(1)的三个有理数、、,那么不定方程

有整数解使得.

如果(2)有整数解,,我们证明方程(2)有一组整数解,,且.

这样,由无穷递降的思想,就会找到一个递减的正整数数列,从而导致矛盾.

事实上,若为奇数,则,即,但是一个数的完全平方数或,从而,不会出现的情形,矛盾,故为偶数.

这时,又完全平方数或,故、、都必须为偶数,这样令,,,,就得到了一组满足的解.

综上所述,(1)没有有理数解.

说明从“最小的”出发(或者从某一个出发找到“更小的”)是这一节要介绍的重要思想,本质上而言它们都只是数学归纳法的特殊形式.这从一个方面体现出掌握数学归纳法的困难与挑战,或许正是这些挑战吸引人们去学习数学.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 最小数原理与无穷递降法 P014 例3）

设是平面上不共线的个点.证明:至少有一条直线恰过其中的两个点.

证明

这是著名的Sylvester定理,有许多证明方法,其中较简洁的一个证明就是用最小数原理获得的.

考虑过中至少两点的直线,该直线外的点到它的距离大于0,这样的距离只有有限个(因为直线的条数至多条,而在每条直线外的点也是有限个),从而这些距离中有一个最小值.

不妨设,在上面的距离中,点到直线的距离最短.我们证明直线上没有中的其他点.

若直线上还有中的点,不妨设在直线上,设到直线的射影为,则中必有两点在的同侧,不妨设在的同侧,并设(如图所示).则到直线的距离不超过到直线的距离,而,这与的最小性矛盾.从而上没有中的其他点.

001.PNG

所以,命题成立.