数据结构与算法分析-C++描述 第9章 图论算法（欧拉回路问题之Fleury算法）

背景（background）：

        考虑下图三个图形，要求不重复地走完所有路径。其中，若能回到起点，则这样的环路称为欧拉回路（Euler Circuit），若能不重复走完路径，但终点不一定是起点，则这样的环游称为欧拉环游(Euler tour)。两种问题统称为欧拉路径问题（Euler Path Problem）。

两种欧拉路径问题随然稍有不同，但解法思路一致，以欧拉回路问题介绍Fleury算法。在介绍之前引入欧拉回路的一般性质。

欧拉回路的一般性质：

        1、当终点必须终止在起点的欧拉回路当图是连通的并且每个顶点的度（即边的个数）是偶数时才有可能存在。因为在欧拉回路中满足有入必有出。如果任一顶点的度为奇数，则通过该边只能进而无法出（上图右图所示）。如果如果恰有两个顶点的度数为奇数，则在一个奇数度的顶点出发在另一个奇数度的顶点结束，欧拉回路依然可能存在（上图左所示）。如果奇数的顶点数多于两个，则欧拉回路也不存在。

        2、事实上，通过条件1可以得到欧拉回路的充分必要条件。即：所有顶点的度均为偶数的连通图必有欧拉回路。

Fleury算法语言描述：

        设为无向图，求的一条欧拉回路的方法为：

        1）取的起点，令;

        2）设到依次经过顶点，按如下方法选取下一顶点：

                1：与关联；

                2：除非无别的边可选择，否则到的边不能是剩余顶点的桥（去除该边则整个图不连通）；

       3）当2）步骤完成时算法结束，生成一条欧拉路径。

Fleury算法行为描述：

       1，选择为起点。进行深度优先遍历（最大顶点优先遍历)并标记已经经过的边，直到再次出现重复顶点（v1 -> v8 ->v9 ->v6 -> v7 -> v8）,以v8为起点进行深度优先遍历（此时不包括已经遍历的边，即已经遍历过的边不存在了），依次经过v8 -> v2 -> v9 -> v4(v6已经遍历过将不存在了) -> v6 -> v5 -> v4 回到v4,以v4为起点进行深度优先遍历，依次经过v4 -> v3 -> v2 -> v1回到起始地点。整个流图如下所示：

Fleury算法编程实现：

//main.cpp
#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 20;

//define the Stack container
struct Stack{
	int top;
	int vertex[N];
}s;

int graph[N][N];
//dfs algorithm to traverse connection path
void dfs(int start, int numVertex);
//fleury algorithm to output the Eular loop
void fleury(int start, int numVertex);

int main(){
	int numVertex, numEdge;
	int u, v, degree;
	int start, num, i;
	
	ifstream fin("input.txt");
	fin >> numVertex >> numEdge;
	
	memset(graph, 0, sizeof(graph));
	//update the graph by file input
	for(i = 0; i < numEdge; i++){
		fin >> u >> v;
		graph[u-1][v-1] = graph[v-1][u-1] = 1;
	}
	//claculate the degree of vertex
	for(i = 0; i < numVertex; i++){
		degree = 0;
		for(int j = 0; j < numVertex; j++){
			degree += graph[i][j];
		}
		//odd number degree case
		if(degree & 1){
			start = i;
			num++;
		}
	}
	//only the degree of vertex is even, than there will exist the Eular loop
	if(num == 0 || num == 2){
		fleury(start, numVertex);
	}else{
		cout << "The graph has no Eular Loop !" << endl;
	}
	cout << " done ." << endl;
	return 0;
}

void dfs(int start, int numVertex){
	//push the start vertex into stack;
	s.vertex[++s.top] = start;
	for(int i = 0; i < numVertex; i++){
		//update the visited vertex
		if(graph[i][start] > 0){
			graph[i][start] = graph[start][i] = 0;
			//iterative call the dfs algorithm to find the connection path
			dfs(i, numVertex);
			break;
		}
	}
}

void fleury(int start, int numVertex){
	s.top = 0;
	s.vertex[s.top] = start;
	bool flag;
	while(s.top >= 0){
		flag = false;
		//find the connection vertex and set flag
		for(int i = 0; i < numVertex; i++){
			if(graph[s.vertex[s.top]][i] > 0){
				flag = true;
				break;
			}
		}
		//the vertex has only one connection vertex
		if(!flag){
			cout << (s.vertex[s.top--] + 1) << " -> ";
		//the vertex has more than one connection vertex
		}else{
			dfs(s.vertex[s.top--], numVertex);
		}
	}
}

//input.txt
9 14
1 2
1 8
2 3
2 8
2 9
3 4
4 5
4 6
4 9
5 6
6 7
6 9
7 8
8 9

practice makes perfect !