商务与经济统计——抽样分布与区间估计

1. 基础概念及其定义

1.1 简单随机样本（有限总体）

从容量为 的有限总体中抽取一个容量为n的样本，如果容量为 的每一个可能的样本都以相等的概率被抽出，则称该样本为简单随机样本。

1.2 随机样本（无限总体）

如果从一个无限总体中抽取一个容量为 的样本，使得下面的条件得到满足：

1. 抽取的每个个体来自同一总体
2. 每个个体的抽取是独立的
   则称该样本是一个随机样本

1.3 抽样分布

一个样本统计量所有可能值构成的概率分布

1.4 无偏性

点估计量的一个性质，此时点估计量的数学期望等于所估总体参数的值

1.5 中心极限定理

从总体中抽取容量为 的简单随机样本，当样本容量很大时，样本均值 的抽样分布近似服从正态概率分布。一般来说，当样本容量大于或者等于 时， 的抽样分布可用正态分布近似。

1.6 抽样方法

• 分层随机抽样：先将总体分成若干层，然后在每层中进行简单随机抽样。依赖于层内个体的同质性。
• 整群抽样：先将总体分成若干群，然后以群为单位进行简单随机抽样。依赖于每一群对整个总体的代表性。

1.7 区间估计

总体参数估计值的一个区间，确信该区间将参数值纳入其中。通常是在点估计上加减一个边际误差的值来计算区间估计。区间估计的目的在于，提供基于样本得出的点估计值与总体参数值的接近程度方面的信息。

2. 抽样分布

2.1 的抽样分布

样本均值 的所有可能值的概率分布。可用于提供样本均值 与总体均值 的接近程度的概率信息。

• 数学期望
  
  其中， 为总体均值
• 标准（误）差
  
  
  当 时，采用无限总体的计算公式。样本容量越大，样本均值落在总体均值附近某一特定范围内的概率也越大。
• 抽样分布的形态
• 当总体服从正态分布时，在任何样本容量下 的抽样分布都是正态分布
• 当总体不服从正态分布时，根据中心极限定理来判定。

2.2 的抽样分布

样本比率 是总体比率 的点估计，样本比率的计算公式为

其中， 为样本中具有感兴趣特征的个体的数量， 代表样本容量。

的抽样分布是样本比率 的所有可能值的概率分布。它可以对样本比率与总体比率的差异程度提供概率信息。

• 数学期望
  
• 标准（误）差
  
  
  当 时，采用无限总体的计算公式。
• 抽样分布的形态
• 当 并且 时， 的抽样分布可以用正态分布近似。

2.3 的抽样分布

为样本秩相关系数，其计算公式为：

其中， 为样本中观测值的个数； 为对于第 个变量的第 观测值的秩； 为对于第 个变量的第 观测值的秩；。

的抽样分布

• 均值：
  
• 标准差：
  
• 分布形式
  时，近似服从正态分布。

3. 总体均值的区间估计

一个点估计量 边际误差。其中，边际误差 = 标准误差乘以。

3.1 已知的情形

其中， 为置信系数， 表示标准正态概率分布上侧面积为 时的 值。

常用的置信水平下的 值:

置信水平
90%	0.1	1.28	0.05	1.645
95%	0.05	1.645	0.025	1.960
99%	0.01	2.33	0.005	2.576

应用中需要注意若总体服从正态分布，则 给出的置信区间是精确的；若总体不属于正态分布，则需要样本容量足够（一般 已足够，若总体分布大致对称，则样本容量至少为 才能得到置信区间一个好的近似。）

3.2 未知的情形

3.2.1 分布

一类概率分布，当总体标准差 未知而用样本标准差 对其进行估计时，该分布用于建立总体均值的区间估计。随着自由度的增大， 分布与标准正态分布越来越相似。 分布用于计算总体均值的区间估计，其自由度为 ，其中 是样本容量。

3.2.1 总体均值的区间估计

其中， 为样本标准差， 为置信系数， 表示自由度为 的 的分布中，上侧面积为 时的 值。

应用中需要注意若总体服从正态分布，则 给出的置信区间是精确的；若总体不属于正态分布，则需要样本容量足够（一般 已足够，若总体分布大致对称，则样本容量至少为 才能得到置信区间一个好的近似；若总体的分布是严重偏斜或者包含异常点时，需要样本容量 。）

3.3 样本容量的确定

其中， 为希望达到的边际误差。若总体标准差 是未知的，一般可以将 做为标准差 的粗略估计。

4. 总体比率的区间估计

3.4.1 区间估计

其中， 为置信系数， 表示标准正态概率分布上侧面积为 时的 值。

3.4.2 样本容量

其中， 表示 的计划值， 为希望达到的边际误差。

5. 两总体均值之差的区间估计

两总体均值之差的点估计量为

5.1 和 已知的情形

• 的标准误差
  

• 的区间估计
  
  其中， 为置信系数。

5.2 和 未知的情形

• 的标准误差
  

• 的区间估计
  
  其中， 为置信系数； 统计量的自由度采用如下计算公式
  

5.3 匹配样本

• 区间估计
  
  其中， 为样本差值的均值， 为样本标准差， 分布的自由度为 。

6. 两总体比例之差的区间估计

两总体比例之差的点估计量为

• 的标准误差
  

• 的区间估计
  
  其中， 为置信系数；两总体比例未知时，用 来估计 。

7. 一个总体方差的统计推断

• 从正态总体中任一抽取一个容量为 的简单随机样本，则
  
  的抽样分布服从自由度为 的 分布。

• 一个总体方差的区间估计
  
  其中， 表示 分布右侧的面积或概率为 时对应的 值， 分布的自由度为， 为样本容量。

8. 两个总体方差的统计推断

• 从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为 和 的两个独立的简单随机样本，则 的抽样分布服从分子自由度为 和分布自由度为 的 分布。 为取自总体 的容量为 的随机样本的样本方差， 为取自总体 的容量为 的随机样本的样本方差。