数据结构---树和二叉树

树和二叉树的定义

树的定义

树 属于1：n的形式，属于非线性结构

有且仅有一个根，其余的都是子树

而字树也有自己的根和子树，所以，树是一个递归的定义

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树的基本术语

结点的度：结点拥有的子树的个数，或者是分支的个数，或者是指针的个数

度=0：叶子
度！=0：分支节点或者叫内部节点

树的度：各节点度的最大值
树的深度：最大的层数（根节点为第一层），图中树的深度是四层

孩子：结点子树的根结点
双亲：与孩子反过来
例如：B是A的孩子；A是B的双亲

子孙：某节点子树中的任一个结点
祖先：从根到该结点所“途径"的"所有“结点，例如，H的祖先是A、D

一棵树也是森林，把一棵树的根结点去掉，就变成了三棵树，就是一个普通的森林，
森林加上一个双亲结点，就变成了一颗树

线性结构和树形结构的比较

二叉树的定义

起因

定义

注意 子树有左右之分，并且次序不能颠倒，根可以有空的左右子树

注意

二叉树：哪怕其中一个子树是空的 那么另一个子树也得在自己位置 并且区分左右
树：不区分左右，其中一个子树为空时，另一个只有一个位置

案例引入

前缀码编码

表达式的实现

二叉树的抽象类型定义

创建二叉树时，根据definition来构造 而definition的值分别对应着三个不同的遍历方式

二叉树的性质和存储结构

二叉树的性质

直接假设二叉树是满二叉树 也就是直接计算最多情况下的结点数，就是“至多”的结点数

第i层 那就是求等比数列的常数项 也就是a1*（q的n-1次方） a1是1

每层至少一个

等比数列求和

一共最少有k个

度为2：也就是有两个孩子的结点

证明：1.以总边数为桥梁
2.从下往上分析：每个结点头上都连着一个边，只有根结点没有，所以 总边数B=n-1（n是总结点数）
3.从上往下分析：B=2n2+1n1
（n2、n1、分别表示度为2和度为1的结点数）
4.以B为桥梁 带入n=n2+n1+n0

二叉树的特殊形式

满二叉树

满二叉树 必须每个位置都有结点 每层都要满 叶子结点必须都在最后一层

完全二叉树

要从满二叉树中连续的去掉元素而不修改 也就是编号位置不能变 结点中存放的元素也不能变 就是将完全二叉树映射到满二叉树时 没有异常的地方 可以残缺 但不可以异常 并且 一定要从左往右是连续的 不能有缺口

完全二叉树的两个性质

因为是完全二叉树 去掉最后一层 就是满二叉树 补全最后一层 也是满二叉树 所以 可以利用满二叉树的性质来构造一个不等式，

去掉最后一层 就是满二叉树 那么不等式左边就是k-1层时的总结点数
补全最后一层 就是满二叉树 那么不等式右边就是k层时的总结点数

之后简化不等式 最后一步将小于号改成去小于x的最大整数

因为是完全二叉树 去掉最后一层 就是满二叉树 补全最后一层 也是满二叉树 所以 可以利用满二叉树的性质来构造一个不等式，之后简化不等式 最后一步将小于号改成去小于x的最大整数

总结来说 除了根结点
其他结点：双亲结点的编号是【i/2】
左孩子结点是2i
右孩子结点是2i+1

如果左右孩子的编号超出了最大结点数 那么就是孩子不存在

二叉树的存储结构

顺序存储结构

按照满二叉树的位置定义编号 再定义一个数组 编号对应数组下标



空值 数组位置不能缩进 仍然保留 数值为空
所以就造成了空间的浪费

链式存储结构

一般会有一个头指针指向根结点，上面的结构体是对结点的定义

除了根节点 其他结点一定有双亲 那么每个双亲肯定会牺牲一个链域来存放孩子的地址 所以 空指针数目是2n-（n-1）

遍历二叉树

简介

分类

遍历每一个子树时 将子树也按照整棵树的遍历方式遍历 ，也就是以根结点为参考 转换根结点的参考

先序

先以整个树为参考 先访问根结点
之后访问左子树：这时将左子树的B 看成根结点 继续采用先序的访问方式来访问B的左子树 依次类推 直到访问到左右子树为空的叶子结点 从而完成对左子树的访问
最后访问右子树：这时将右子树中的D看成根结点 继续采用先序的访问方式来访问D的左子树 依次类推递归 直到访问到左右子树为空的叶子结点 从而完成对右子树的访问

中序

先访问左子树：这时将左子树的B 看成根结点 继续采用先序的访问方式来访问B的左子树 依次类推 直到访问到左右子树为空的叶子结点 从而完成对左子树的访问

后序

案例

一级目录

二级目录

二级目录

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